Les mathématiques à la portée de tous par la méthode motaconceptologique .

L'avènement de la vérité.

TOUT DESCENDANT D'ESCLAVE OU DE COLONISÉ DEVRAIT TÔT OU T**D REMETTRE EN QUESTION L'ORIENTATION A DONNER A SA VIE TANT IL draine en lui les germes et les traces de ces époques de déshumanisation, sinon il restera esclave ou colonisé.

Pour une APC vivante.

LIMITE ET CONTINUITÉ.
Voici 2 notions qui se complètent pour préciser la représentation graphique d'une fonction. Un calcul de limite permet de dire si une fonction est continue. Et la continuité permet de faire un calcul de limite.
En clair si une limite en un point est égale a l'image du point par la fonction
alors la fonction est continue en ce point. Et vice versa.
Une limite est le point vers lequel tend l'image.
Être continue en un point signifie qu'en ce dernier la fonction est définie et ce de manière non isolée. Donc en ce point le tracé de la fonction ne présente pas de saut ou vide.
Ces deux notions évoluent avec les opérations sur les fonctions de manière homomorphique. En clair le composé de deux fonctions continues est continue. Et la limite d'un composé de deux fonctions est le composé des limites.
En matière de limite un cas intéressant est celui de la levée de l'indétermination en supprimant la cause qui lui a donné naissance, en l'occurrence certaines apparitions de la variable.

Ce n'est souvent pas facile de dénombrer !

ASTUCES POUR LES DÉNOMBREMENTS.
L'important ici est de reconnaitre le modèle ensembliste en présence et de lui appliquer sa formule de dénombrement. Et les modèles dont les formules de dénombrement sont connues sont: l'ensemble des parties d'un ensemble, l'ensemble des applications d'un ensemble dans un autre, l'ensemble des bijections, l'ensemble des injections, etc.
La reconnaissance du modèle se fonde sur la définition de l'ensemble, qu'il faut bien maitriser.

Gogo a 94 ans et semble être au soir de sa vie. Pourtant elle retourne sur les bancs de l'école parmi des élèves de CM2 pour apprendre à lire, à écrire et à compter.

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LES NOMBRES COMPLEXES.
Complexes parce que formes de deux parties non constituées d'éléments de même nature: la partie réelle et la partie imaginaire.
La partie imaginaire est annoncée par le nombre i dont le carre i^2=-1. Un tel nombre est donc de la forme x+iy avec x,y€R. x=Re(x+iy) et y=Im(x+iy).
(x+iy)+(a+ib)=(a+x)+i(b+y)
(x+iy).(a+ib)=(ax-by)+i(ay+by).
Soit donc C l'ensemble des nombres complexes. (C,+,*) est un corps commutatif . Et (C,+,.) est un R-espace vectoriel.
i est découvert à la suite des travaux de torricelli en électricité dans le montage
des circuits électriques ou une intensité i de courant alternatif est telle que i^2=-1.
Il a donc fallu envisager un ensemble contenant R et i dans lequel on définit + et * qui ont les propriétés qu'elles ont dans R. i pour imaginaire parce qu'on ne connaissait pas encore de carré négatif mais aussi i pour intensité du courant.
C est ainsi né.

QUELQUES ASTUCES DE CALCULS: cas de la décomposition en facteurs premiers et d'un polynôme diviseur d'un autre de troisième degré quand une solution a est connue. P(x)=(x-a)Q(x).
1) pour la décomposition en facteurs premiers, on nous a toujours habitué à tracer une verticale à gauche de laquelle on place le nombre et à sa droite, tous ses diviseurs premiers.
Or on peut d'abord écrire le nombre comme produit de deux nombres même s'il ne sont pas premiers. Ensuite on cherche la décomposition en facteurs premiers de chacun des facteurs qui sera plus facile à trouver que celle du nombre initial.
Pour le polynôme diviseur, le coefficient de son monôme de second degré est visible à partir de celui du troisième degré du polynôme du troisième degré. Et celui de degré zéro à partir de la constante de celui du troisième degré.
Ces deux là connus permettent de déterminer celui de degré 1,sans qu'on ait besoin de résoudre un système ou de faire la division euclidienne.

L'ORIGINE PHYSIQUE DU PRODUIT SCALAIRE AU TRAVERS DU TRAVAIL D'UNE FORCE.

L'origine physique de la notion de barycentre au travers du centre de gravité.

Transformation d'une échéante et synthétique en une analytique et progressive: le cas de l'inégalité de Cauchy-Schwartz.

LES DÉMONSTRATIONS ANALYTIQUES ET PROGRESSIVES ET CELLES ÉCHÉANTES ET SYNTHÉTIQUES.
Une démonstration est l'établissement d'un résultat qui n'est pas moins vrai si la démonstration n'est pas connue.
En revanche, sa connaissance renforce la crédibilité et la foi en le résultat.
A les observer, on constate qu'elles sont de deux types :
1) le type où des le début, nous ne voyons pas les raisons ayant présidé à la considération des outils utilisés, ni même le rapport entre ces outils et les données du problème. Nous les avons baptisées échéantes et synthétiques. Il est clair clair que ce genre n'est pas à promouvoir car, encourageant plutôt la récitation puisque on ne peut mieux retenir que ce qu'on comprend. Mais dans ce cas, parce qu'on est surpris qu'a la fin ça donne, on se résoud néanmoins à l'apprendre par coeur, bien qu'on n'y comprenne rien..
2) le second type qui est tout à l'opposé du premier et constitué de celles baptisées analytiques et progressives.
Il est évident que c'est le genre à promouvoir et dont la rareté rend les mathématiques d'abord difficile pour le commun des mortels. Il s'agit donc d'œuvrer, pour les didacticiens, à la transformation en analytiques et progressives, de toutes les échéantes et synthétiques avant de les servir à leurs apprenants.
Nous montrerons prochainement au travers d'un exemple, l'inégalité de Cauchy-Schwartz dans un espace vectoriel euclidien, comment procéder à cette transformation.
En règle générale, on peut inverser la démonstration en la présentant plutôt de la fin vers le début.

Nous parlerons prochainement des démonstrations. Nous ferons alors la différence entre celles magiques ou échéantes et synthétiques de celles construites ou analytiques et progressives.

Deux propriétés fondamentales en géométrie plane: la propriété de Pythagore et celle de Thalès.
1) celle de Pythagore établit l'équivalence entre la rectangularite d'un triangle et l'égalité entre le carré d'un cote et la somme des carrés des deux autres côtés.
Ce côté est alors appelé l'hypothenuse.
2) celle de Thalès établit l'équivalence entre le parallélisme d'une correspondance et l'égalité du rapport
des mesures dans une directions de la correspondance et celui des mesures correspondantes dans l'autre direction.
On pense en langage courant et non en celui mathématique.
D'où l'intérêt de tout faire quel que soit l'énoncé mathématique de trouver son équivalent en langage courant que l'esprit pourra plus facilement garder. Au début cela paraîtra compliqué mais avec l'habitude , ça va aller.
La formulation d'un énoncé mathématique en langage courant est la preuve que le concept qu'il développe est bien maîtrisé. Pour y parvenir il est intéressant de donner aux élèves des exercices descriptifs de la situation présentée par la propriété.

AUJOURD'HUI PARLONS DE LA VALEUR ABSOLUE D'UN NOMBRE RÉEL
Pour cela considérons la droite numérique, c'est-à-dire une droite portant tous les nombres réels.
Alors la valeur absolue d'un nombre réel x est la distance de ce nombre a 0. On la note |x|=d(x;0). On la définit en opposition à la valeur algébrique qui s'accompagne d'un signe - ou +. - pour les nombres à gauche de 0. Et + pour ceux à sa droite.
Ses propriétés:
1) |0|=0.
2) |-x|=|x|.
3) |x+y|(

PARLONS UN PEU DES RACINES CARRÉES de nombres réels positifs AUJOURD'HUI.
Pour cela considérons un arbre qui lui aussi a des racines. Elles lui permettent de se constituer en le retenant au sol et de se nourrir de ses éléments.
Donc quand on dit carré, qu'est-ce qui lui permet de se constituer? Le nombre qu'on élève au carré car si on ne le considère, il n'y a rien à élever au carré. C'est donc ce nombre qui est la racine carrée du carré. Pour en achever l'étude il suffit d'en connaître les propriétés :
1- ce nombre est toujours positif autrement il y en aurait deux.
2- on ne déterminé que la racine carrée d'un nombre positif.
3- elle conserve le produit et le quotient.
4- elle est une fonction croissante.
Celui qui a compris ceci a compris l'essentiel sur les racines carrées.
La prochaine fois on parlera de la valeur absolue d'un nombre réel.

PARLONS UN PEU DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN.
Commençons par faire remarquer que le logarithme népérien suppose un logarithme non népérien.
John Napier ou Neper est celui-là même qui l'a découvert.
Logarithme est la conjonction de loga et de rithme.
Loga annagrame de algo qui signifie douleur comme dans névralgie ou lombalgie. Ou loga comme logos=discours scientifique.
La fonction logarithme est donc cette fonction qui a impulsé de la vitesse aux travaux scientifique en adoucissant la douleur dans la résolution des équations avec l'inconnue à l'exposant. Comment en est-on arrivé la ? En s'intéressant à la primitive de la fonction inverse i : x |--->1/x sur ]0;+00[ qui s'annule en 1. Il est clair qu'elle ne peut s'exprimer à l'aide des fonctions connues. On la note donc p(i) pour dire primitive de la fonction inverse.
On a donc [p(i)]'(a.x)=[p(i)](a)+k. Et comme p(i)(1)=0 alors k=p(i)(a). D'où [p(i)](a.x)=[p(i)](a)+[p(i)])(x).
Et finalement [p(i)](a(exposant(r)))=r.[p(i)](a).
Et c'est cette dernière propriété extrêmement importante et facilitant la résolution des équations mentionnées si haut qui amène à prendre ln=p(i).
On alors ln(a.b)=ln(a)+ln(b). Et ln(1)=0.
La fonction x |------> e(exposant (x)) sur R est appelée fonction exponentielle de base e~2,518.… sa réciproque sur ]0;+00[ est la fonction logarithme népérien.
La fonction x|------> a(exposant(x)) sur R est la fonction exponentielle de base a. Sa réciproque sur ]0;+00[ est la fonction logarithme de base a.

PARLONS UN PEU DES FONCTIONS DÉRIVÉES.
Dérivée signifie émanée de, provenant de
Or étant donnée une fonction f. Plusieurs autres fonctions peuvent découler de f. Sont-elles toutes alors ses dérivées ? Non seulement celle qui en un point associe le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en ce point. Comment obtient-on ce coefficient directeur? C'est la limite du taux d'accroissement en ce point c'est-à-dire limx--->x0 [f(x)-f(x0)]/(x-x0). On comprend dès lors pourquoi le signe de la dérivée qui est le même que celui du taux de variation donne le sens de variation de la fonction.
Avec cette définition, on établit les formules sur les opérations sur les fonctions dérivées et l'essentiel sur ce chapitre est déjà compris.

PASSONS A L'INTÉGRALE.
On sous-entend valeur intégrale par opposition a valeur approchée. Integral vient d'intègre qui signifie correct ou exact.
En effet jusqu'à une certaine époque on ne savait calculer que les aires de certaines figures géométriques classiques. Et pour les figures non classiques, on procédait à des approximations. Le calcul intégral vers la fin du 17eme et le début du 18 eme siècle, avec comme figure de proue Leibniz, vient donc mettre fin a cet état de chose en calculant l'aire de n'importe quelle figure, a condition d'avoir l'équation de sa courbe.
Nous le montrerons dans la figure qui suit. Ou étant donnée une fonction f d'expression connue, continue et positive, on cherche a calculer l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b.
Si on prend x0 dans [a,b] tel que x0+h soit dans [a,b]. On peut donc considérer A(x0) comme l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=0 et x=x0. On a donc la relation
hf(x0)

On dit des premiers hommes qu'ils sont des primitifs parce que les autres sont leurs descendants
Donc leurs dérivés.
De même la fonction qui permet d'avoir une dérivée est à juste titre appelée sa primitive. Ou une de ses primitives si on exclue pas le fait qu'elle puisse provenir de plusieurs fonctions
En lisant donc les formules des dérivées de la droite vers la gauche on obtient les premières formules sur les primitives.
On n'a pas besoin d'enseigner le changement de variable, c'est la deuxième étape. Celle de la transformation de notre méthode de résolution des problèmes. De même que l'intégration par parties qui est une lecture de la droite vers la gauche de la dérivée d'un produit

La prochaine fois on verra comment le calcul d'une intégrale se ramène à la détermination de l'une de ses primitives.

Passons donc maintenant aux inéquations. Comme les équations vont avec l'égalité les inéquations iront avec l'inégalité à cause du préfixe privatif in.
Il suffit donc de donner les propriétés fondamentales de l'inégalité et les règles de calculs qu'on leur combine. Commençons donc par les propriétés
1) la non réflexivité de < et de>. Pourtant (ou=) sont réflexifs.
2) l'antisymétrie de (ou=):
a(ou=)a ---> a=b.
3) la transitivité de toutes les inégalités.
4) la compatibilité de la somme et des inégalités.
Celle du produit et des inégalités si on multiplie par un nombre positif.
Celle inverse quand on multiplie par un nombre négatif, obtenue par changement de sens des inégalités.
Passons maintenant aux règles de calcul :
0+x=x+0=x pour tout x.
a+b=b+a.
a+(-a)=0.
a+(b+c)=(a+b)+c
1.x=x.1=x.
a.b=b.a
a.(1/a)=1.
a.(b.c)=(a.b).c
a.(b+c) = (a.b) + (a.c).
A ce stade l'essentiel de l'arsenal sur les équations et inéquations à une inconnue est donné. Aux apprenants de choisir maintenant des exercices pour mettre en pratique.
Pour les systèmes de deux équations à deux inconnues, utiliser les propriétés connues pour se ramener à une équation à une inconnue dont la valeur placée dans n'importe laquelle des équations permet de déterminer autre valeur.
Pour les systèmes de trois équations à trois inconnues, se ramener à deux équations à deux inconnues.

Les calculs de délogement de l'inconnue ou d'une connue dans la résolution d'une équation : f(x)=g(x).
D'après notre principe d'identification de notre méthode de résolution des problèmes, nous devons nous ramener à deux formes fondamentales au travers desquelles nous verrons ces calculs utilisables pour cette équation pour parvenir à ces formes qui sont donc: 1) a+x=b et 2) a.x=b. Où a et b sont supposés connus et x l'inconnu.
1) pour trouver x il suffit de faire partir a, sans l'effacer. C'est alors qu'on fait appel à la compatibilité de la fonction somme et de l'égalité en ce que: a+x=b --> -a+a+x=-a+b; 0+x=b-a; d'où x=b-a. Tout se passe donc comme si a a traversé l'égalité en changeant de signe ce que l'esprit ne peut pas comprendre mais s'explique par la compatibilité de la somme et de l'égalité que l'esprit comprend très bien.
2) si a=0 et b non nul alors il n'y aura aucun x vérifiant 0.x=b.
Si a=0 et b=0 alors tous les x de l'ensemble de définition de l'équation vérifient : 0.x=0.
Si a non nul alors avec la compatibilité du produit et de l'égalité on a:
a.x=b ---> (1/a).a.x=(1/a).b; 1.x=b\a. D'où x=b\a.
Ainsi donc l'essentiel des méthodes pour la résolution des équations ont été vues. La prochaine fois on parlera des inéquations.

LES PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES DE L'ÉGALITÉ.
Pour résoudre l'équation f(x)=g(x) pour trouver x=quelque chose, on ne saurait le faire sans connaitre les propriétés fondamentales de l'égalité. E étant donc un ensemble et a, b, c, .. ses éléments :
1) la première : la réflexivité. Pour tout élément a de E: a=a. a est en relation d'égalité avec lui-même, donc se réfléchit. Donc s'envoie une flèche. Les relations étant représentées par un diagramme sagittal(de sagaie=flèche).
2) la deuxième: la symétrie.
Pour tous a et b dans E si a=b alors b=a. La distance de a à b est celle de b à a et les deux sont symétriques par rapport à leur milieu.
3) la troisième : la transitivité.
Pour tous a, b et c dans E si a=b et b=c alors a=c. On passe de a à c en transitant par b.
4)la quatrième: la compatibilité d'une fonction et d'une égalité.
Si f est une fonction de E dans E et a et b des éléments de E alors si a=b alors f(a)=f(b). L'égalité éléments entraîne celle de leurs images par la fonction.
Ce sont donc ces propriétés qu'on combine avec les règles de calculs pour partir de f(x)=g(x) à x=quelque chose, donc à résoudre l'équation.
Ces propriétés sont facilement acceptables par l'esprit par rapport à certaines recettes qui permettent de résoudre et qu'on est oblige de réciter sans aucune compréhension et qu'on démontre d'ailleurs à partir de ces propriétés fondamentales.
La prochaine fois on verra les règles de calculs permettant de faire la chasse à l'inconnue et de la déloger de là où elle est pour un endroit souhaité.

Aperçu motaconceptologique de la notion de barycentre.
Bary=poids et centre=centre
Donc le barycentre est l'appellation mathématique du centre du poids que les physiciens appellent centre de gravité. Pour donc en comprendre les fondements, il faut recourir au théorème des moments tel que utilisé par les physiciens pour en déterminer
la position. Si on a compris ceci on a tout compris sur les barycentres car le reste est que conséquence de ce qui vient d'être dit.

Aperçu motaconceptologique de la notion d'équation.
La racine de équation est équi=égal. Et le suffixe est tion=action.
Une équation est donc l'action de mettre à égalité deux termes f(x) et g(x). x qui est une variable dans le cas d'une fonction devient ici une inconnue.
L'équation sera donc: f(x)=g(x).
Résoudre donc cette équation dans un ensemble c'est déterminer la valeur de x dans cet ensemble pour que cette égalité soit vraie car à priori f et g ne sont pas égales !
Et l'ensemble de définition de cette équation est l'intersection des ensembles de définition de f et de g, c'est cet ensemble que l'équation à un sens, autrement f(x) ou g(x) ne sera même pas défini. Si on a compris tout ceci alors on a tout compris tout sur les équations car tout ce qui vient après n'est que conséquence de ce qui vient d'être dit.
Pour donc résoudre les équations il faut connaitre les propriétés fondamentales de l'égalité. De même que les règles de calculs dans l'ensemble de définition de l'équation, de manière à faire la chasse à toutes les occurrences de l'inconnue pour les y déloger et les rassembler à un même endroit, ce qui permettra d'en déterminer la valeur.

Aperçu motaconceptologique de la notion de fonction.
Considérons la phrase:" monsieur Nkongo Eboa a assuré la fonction de proviseur au lycée de yabassi".
Il a donc fallu un ensemble de moyens mis à la disposition de monsieur nkongo pour lesquels un ensemble de résultats étaient attendus. Le mathématicien a appelé cet ensemble E et l'a qualifié ensemble de départ. Pendant que celui des résultats est appelé F est qualifié ensemble arrivée. Comme chaque moyen produit un résultat ou pas, cela fait donc naitre entre les moyens et les résultats une correspondance f que nous appellerons fonction. L'ensemble de définition de f sera tout simplement l'ensemble des moyens qui produisent un résultat. Si ensemble de départ est R la fonction est dite à variable réelle. Si F=R la fonction f est dite numérique. Si on a compris ceci on a tout compris sur les fonctions car tour le reste est que conséquence de ce qui vient d'être dit. C'est ça la motaconceptologie.

APERÇU MOTACONCEPTOLOGIQUE DE LA TRIGONOMÉTRIE.
Tri=3; gono=angle et métrie=distance. Donc la trigonométrie est la partie des mathématiques qui étudie les rapports entre les mesures des côtés d'un triangle et les angles correspondants. Et comme de tout triangle on peut obtenir un triangle rectangle, par le trace d'une hauteur, on peut donc l'étudier dans un triangle rectangle. Et comme tout nombre est multiple de 1, on peut l'étudier dans un triangle d'hypothenuse mesurant 1 et généraliser à n'importe quel triangle rectangle par la propriété de Thalès. Ayant donc notre triangle rectangle d'hypothenuse mesurant 1 si nous traçons le cercle de centre l'une des extrémités de l'hypothenuse et de rayon 1, en prenant l'origine du repère à ce point et les axes parallèles respectivement aux côtés perpendiculaires du triangle, l'abscisse de tout point sur le cercle sera par définition le cosinus de l'angle au centre correspondant et son ordonnée son sinus. Voilà pourquoi le cercle tracé sera qualifié trigonométrique. Si on a compris ceci on a tout compris de la trigonométrie car tout le reste n'est que conséquence de ce qui vient d'être dit. C'est ça la motaconceptologie