Visionary Horizon

If you find one beautiful, congratulations, as you may have a point. Meaningful things rarely emerge from chaos, or at the very least, it offers an opportunity to start in a different direction.

In cases you encounter a chaos of phenomena, delving into a deeper imaginary level may uncover the beauty within.

Errors can easily occur when we conceptualize the procedure in the time dimension but design data structures with flattened time series.

The question in every model is how multiple dimensions morph into our four-dimensional world we are living in

univalent type theory enables the reduction of complex equations to simpler and more intuitively comprehensible forms. By focusing on isomorphic structures and utilizing morphisms, mathematicians can capture the essence of mathematical objects in a concise manner, promoting clarity and efficiency in proofs. This reductionist methodology aligns well with the goals of mathematics, where elegance and simplicity often lead to profound insights and more efficient problem-solving strategies.

However, the transition from the realm of mathematics to physics brings about a paradigm shift in the requirements for understanding the natural world. Physics seeks to provide a comprehensive and unified description of the intricate interplay of matter and energy. In this pursuit of completeness, equations play a crucial role as they serve as the language through which the laws of physics are articulated.

Picture thing in Topology space, like Chinese couplet.

Connecting the dots with sheaves

An irrational number can be seen as a loop of action that never ends. On the other hand, rational numbers can be viewed as completed tasks. This perspective helps us appreciate the significance of number theory and its connection to finding rational or natural solutions of equations which we learnt in high school mathematics. Moreover, that is also the fundamental concept for comprehending the connection between modular forms and elliptic curves.

AI - stokes' theorem - convergence have very close relationship.

Back to the fundamental, we all know the communitive and associative property of addition or multiplication. What do they mean?. In the real world, do we have even the real addition or things which is considered to be an addition. By looking at the definition, there is the equation which lead us to the symmetry and especially the symmetry in physics. Maybe they are the property of an fundamental partical and nothing hiden inside. For example, while you are driving, the action of turning left and right the driving wheel is not the same as turning right and left.

This is essentially all you need to understand in Logic; everything else would be structure and calculus.

Algebra of Probabilities
Một vài điều thú vị khi tìm hiểu về “Probability and Statistics”.
-“We always have a higher category” – Univalent foundation. Trước đây mình luôn tìm phương pháp top down cho mọi vấn đề, thay vì bottom up, ngay cả lựa chọn sử dụng haskell thay cho python, do luôn muốn có cái nhìn toàn cảnh về thế giới, về model. Tuy nhiên khi tìm hiểu về xác suất thống kê, luật Bayes. Mỗi lượt tung xúc xắc là phải bước vào một dimension, cảm thấy khá bi bách, vì xu hướng muốn nhìn rộng ra thay vì bước vào. Nhìn xung quanh thì có thuyết Univalent của Voevodsky, nôm na thu lượm được là với “weak equality”(homotopy) bạn luôn tìm phát triển được thêm một dimesion khác từ model bạn đang có. Đây chính xác là những gì chúng ta làm với Laplace transform, Mellin transform trong tính toán probability, Ô hóa ra mình cũng đi đúng hướng.
Làm thế nào để công trừ, nhân chia các biến ngẫu nhiên?. Bắt đầu với môi trường có property là (+) và (*) chỉ khi có symmetry trong nó. Vấn đề trong Probability hay trong signal processing là tạo được các space có tính symmetry để manipulate function. Từ đó dẫn chúng ta tới các phương pháp integral transforms, như Laplace, Fourier, Mellin … Các phương pháp này đều có chung một điểm đó là xây dựng một space rộng hơn với higher dim (là product của function ban đầu với một số function khác), sau đó integrate lại theo các biến khác nhau, tạo thành 2 function với 2 biến khác nhau nhưng là isomorphic. Đây chính là Yoneda lemma.
Comonad solve it all. Các bước thực hiện là từ space ban đầu đi tới một thế giới rộng hơn nơi có thể sử dụng algebra, sau có inverse transform lại space ban đầu. Đây là monad trong category rồi. Đứng từ space rộng nhất thì là function đi vào rồi lại đi ra, đây là comonad. Mọi thứ đều có thể logic theo category theory, oh How beautifull they are!!!

Tản mạn về Covariant, Contravariant
Đồng biến và nghịch biến là 2 tính chất trong toán được giới thiệu từ nhỏ như mọi thứ đều có 2 mặt của nó: mặt trái, mặt phải. Vậy còn những thứ gì có 2 mặt như vậy không, Lượng giác đưa ra khái niệm, Sin, Cosin (trước đây là cos nhưng rất may sách giao khoa hiện giờ đã trả lại khái niệm này), Tan và CoTan.
Đặc biệt, một cặp khác mà học sinh cấp 1 được giới thiệu mà không biết chúng có mối quan hệ này là “phép nhân”, và “phép cộng”. (“Product” and “sum or CoProduct”). Đến khi Mình được tiếp cận với lý thuyết loại thì mới nhận ra.
Vậy mọi thứ đều có 2 mặt, nên tư duy theo cả 2 hướng Covarian và Contravariant thì mới có thể nắm được tính chất của vật đó.
Nói thêm về Functor trong Category theory, có một số loại như sau: Covariant, contravariant Functor; Representable Functor, Bifunctor, Profunctor, tương ứng với các function như fmap, contramap, bimap, dimap trong Haskell.
Sẽ không có gì khó khăn khi tiếp cận với fmap, hoặc bimap, khi ta go forward, tuy nhiên với go backward trong contramap hay dimap (1 contra, 1 cova), sẽ khó hình dung hơn rất nhiều. Một trong những lý do là mọi người thường coi Functor là một container với các object ở trong đó, vậy làm sao để để go backward khi đưa cho nó một function go forward.
Một trong những ví dụ dễ hiểu với functor adaptor (->)
fmap :: (r -> s) -> (a -> r) -> (a -> s)
fmap adaptor f = adaptor . f
fmap adaptor = (adaptor .)
fmap = (.)

contramap' :: (b -> a) -> (a -> r) -> (b -> r)
contramap' adaptor f = f . adaptor
contramap' adaptor = (. adaptor)
contramap' = flip (.)

Ngoài ra một chú ý là Functor không thay đổi cấu trúc tuy nhiên không phải functor nào cũng giữ lại toàn bộ thông tin của các object trong nó. Có thể có loại thì cung cấp thêm thông tin hoặc loại bớt thông tin. Suy nghĩ theo hướng này có thể dễ làm quen với contramap hoặc dimap hơn. Một số Functor có thể giữ toàn bộ thông tin còn gọi là representable Functor.

YONEDA LEMMA
Tình cờ mình đi ngang qua một số library, bắt gặp bổ đề Yoneda – Một trong những thuyết quan trọng nhất trong Category theory. Đây là một số tản mạn của bản thân về Yoneda lemma.
Yoneda lemma – được đặt tên theo tác giả Nobuo Yoneda (1930-1996) một giáo sư ở Nhật. Điều đặc biệt là ý nghĩa của bổ đề có thể được dịch ra rất nhiều ngôn ngữ và rất dễ hiểu điều rất hiếm gặp trong math. Không những thế mà những điều cơ bản trong xã hội nào ngờ cũng đúng với logics. 😊
Một cách ngắn gọn: “a thing is determined by its relationships with other things”
English nói: “you can tell a lot about a person by company they keep”
Việt Nam nói: hãy nói cho tôi biết bạn của bạn, tôi sẽ biết bạn là ai”
Trong hình học: Một điểm là tại đó 2 đường thẳng giao nhau.
Haskell:
With Yoneada: forall x . (a -> x) -> F x ≅ F a
With CoYonada: forall x . (x -> a) -> F x ≅ F a

Diễn giải và chứng minh thế nào nhỉ: hỏi google, mình có xem của Mr Bartosz Milewski theo link dưới
https://bartoszmilewski.com/2015/09/01/the-yoneda-lemma/
hoặc chứng minh qua Haskell cũng rất thú vi
https://scturtle.me/posts/2015-06-16-yoneda.html
Trong Math mọi thứ đều được generalize nhất có thể nên khi bắt đầu tiếp cận rất khó nuốt trôi nhưng nếu nhìn thấy một ví dụ của nó thì sẽ hình dung ra được. Tức là phải nhai kỹ thì mới nuốt được.
Khi tìm hiểu về Yoneda Lemma mình bị lạc vào ma trân của Functor và Natural transformation. Tuy nhiên nếu chỉ coi functor là một container như một chiếc đĩa và natural transformation chỉ là chuyển từ đĩa này sang đĩa kia thì mọi thứ trở nên rõ ràng hơn rất nhiều. Chú ý quan trọng là Yoneda lemma dựa trên đặc tính rất quan trọng là Functor preserve structure.
Ứng dụng như thế nào.
Do có thể được dịch ra nhiều ngôn ngữ như trên nên có rất nhiều ứng dụng. Đã chứng minh được trên Math thì luôn luôn đúng, cứ đưa ra ứng dụng thôi nhỉ. Tuy nhiên chú ý quan trọng là phải thỏa mãn các điều kiện của Yoneda Lemma. Một là forall trong Haskell hay Hom set phải có tính đại diện (Representable). Hai là phải có functor để giữ structure. Ví dụ tìm hiểu một người qua một người khác thì người trung gian đó có phải là functor (preserving structure) không =))
Trong Haskell, Lens là một ứng dụng rất mạnh trong việc filter data. Với việc compose các lens function lại với nhau mà vẫn keep structure thì có thể abstract được rất nhiều bước rồi. Ngoài ra với sực mạnh của polymorphism (function act on all type) thì cứ nhìn thấy forall là thích dùng. Bên cạnh đó tính chất giữ cấu trúc của data cũng rất hiệu quả trong việc xử lý data.
Ngoài ra trong Yonada lemma cũng dẫn tới một lý thuyết cũng khá hứa hẹn là Representation theory, mọi người có thể tham khảo thêm.

Category of things -
Năm mới khởi động những gì gì mới. Một trong những kinh nghiệm mình tích lũy được trong kinh tế, nguồn lực có hạn là: nếu muốn phát triển một kỹ năng, kiến thức ở một mảng nào đó thì phải để nó có thể sống độc lập, tự chủ được. So let it live!!
Khởi động chuyên mục mỗi tuần một notes, series đầu tiên mang tên Categorical haskell. Mục tiêu notes: ghi chép lại những gì thu lượm được, những gì cho bản thân.