Tài Liệu Toán Học A+
Contact information, map and directions, contact form, opening hours, services, ratings, photos, videos and announcements from Tài Liệu Toán Học A+, .
09/08/2024
Sách XSTK
http://repository.cinec.edu/bitstream/cinec20/1178/1/2013_Book_ProbabilityTheory.pdf?fbclid=IwZXh0bgNhZW0CMTAAAR0JjadxRb8bPwuaS3bQBfXmEUzBmPHLd72-jUmNWQxycEkp8L-RNwgotyU_aem_LA2NSil0k6Y8efNztALwGA
https://nibmehub.com/opac-service/pdf/read/ProbabilityTheory-%202nd%20edition-%202014.pdf?fbclid=IwZXh0bgNhZW0CMTAAAR2q12wnSVmuzaW6REYAuh9MBYZ2ChnohB3Ii0WcbV6qD11roYieuRUKX6w_aem_fcFEa_wbGPCsoHK20bl84A
https://www.med.mcgill.ca/epidemiology/hanley/bios601/GaussianModel/JaynesProbabilityTheory.pdf?fbclid=IwZXh0bgNhZW0CMTAAAR3H4PIaJiBBMAC4cKZUg6D5pMsvEnbU_PLtowxTaoA7Qmg5ioXOweFAKSs_aem_uVcNdd3ws5ZIG4vtz-cnUw
02/07/2024
02/07/2024
01/05/2024
Tình hình của ad lúc bây h
17/04/2024
https://thanhnien.vn/dh-quoc-gia-tphcm-uu-tien-xet-tuyen-hoc-sinh-149-truong-thpt-nao-trong-nam-2024-185240416110640814.htm?fbclid=IwZXh0bgNhZW0CMTAAAR3AAjn0TizCXqTalZNt6OLlFYlXarsUM3JSEzpw_Tde63ty2s04IbFlliE_aem_ASlNwJc_kcRtBDfbriapbR4uxn3TwUyWbifYifDod7aeLqQf_yb5ctVJ4zBcp48lh3g5W_0LR71Rbu_sDZnNzPx_
ĐH Quốc gia TP.HCM ưu tiên xét tuyển học sinh 149 trường THPT nào trong năm 2024?
ĐH Quốc gia TP.HCM ưu tiên xét tuyển học sinh 149 trường THPT nào trong năm 2024? Một trong các phương thức tuyển sinh được áp dụng tại ĐH Quốc gia TP.HCM là ưu tiên xét tuyển học sinh 149 trường THPT trên toàn quốc. Danh sách 149 trường THPT năm nay gồm những trường nào?
11/02/2024
:))
07/07/2023
https://tuoitre.vn/da-co-diem-chuan-vao-lop-10-o-tp-hcm-20230707074420346.htm?zarsrc=31&utm_source=zalo&utm_medium=zalo&utm_campaign=zalo
Điểm chuẩn lớp 10 tại TPHCM. Welcome các em 2k8.
Đã có điểm chuẩn lớp 10 tất cả trường THPT ở TP.HCM Sở Giáo dục và Đào tạo TP.HCM vừa công bố điểm chuẩn lớp 10 công lập năm học 2023-2024. Học sinh nộp hồ sơ nhập học từ ngày 10 đến ngày 25-7-2023.
03/07/2023
Đáp án chính thức đề TN THPT 2023
24/02/2023
https://drive.google.com/file/d/1kGRu0hy8yWnaNvrwJWPdWkELczSXEqlY/view?fbclid=IwAR3Ad1HNzRW_YwpIIWQqs9ws1ZsfEjxmS9PPHMyjy5jDU7TPQWT14X_Fe3A
Đề Toán VMO ngày 1
29/12/2022
https://drive.google.com/drive/u/2/folders/1wgNPkM8Fh3coQvdrlCvFbugSbPqmLfqE
Đề thi HK1 của các trường tại TPHCM 2022-2023 khối 10
30/11/2022
Các thầy cô download KHBD các bộ sách nhé
1. Toán 7 CTST: https://mseduvn-my.sharepoint.com/personal/hynv_1021_vief_edu_vn/_layouts/15/onedrive.aspx?id=%2Fpersonal%2Fhynv%5F1021%5Fvief%5Fedu%5Fvn%2FDocuments%2FLAM%20VIEC%2FC%C3%A1c%20n%E1%BB%99i%20dung%20chia%20s%E1%BA%BB%2FKHBD%20toan%207%20CTST&ga=1
2. Toán 7 KNTT: https://mseduvn-my.sharepoint.com/.../EUnq0PWJU0FIl6FQvl7...
3. Toán 7 CD: https://drive.google.com/.../1kGx1cnTztvNJ4hhLNmlVkgo1CCA...
4. Toán 10 KNTT: https://drive.google.com/.../1pxhbVIz1SYZkBz5qJg4.../view...
06/08/2022
Kho tài liệu Bất đẳng thức
Link:
https://drive.google.com/drive/folders/1b94MZV3PxwWTuf-1-ZDqqSNIhQtMPJiy?fbclid=IwAR0IYiTR6DyZQ8oPGOcfA6NkcRXEXjqizKC83BO18fWmD_4GRZ5HSp6kN5s
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC - TÀI LIỆU BẤT ĐẲNG THỨC - Google Drive
12/07/2022
4 chủ nhân của 'giải Nobel Toán học' 2022 Huy chương Fields - giải thưởng được coi là danh giá nhất trong toán học đã trao cho 4 nhà khoa học từ Pháp, Ukraine, Mỹ và Anh.
Giải thưởng Fields 2022: số nguyên tố
Nhà toán hoc thứ hai được giải Fields năm nay là anh J. Maynard, vỡi những công trình về số nguyên tố.
Số nguyên tố có lẽ là một trong những chủ đề lâu đời nhất và được chú ý tới nhất trong toán học. Các nhà hiền triết Hy lập đáng kính đã nguyên cứu về nó, từ trước khi chúa Jesu ra đời. Rất có thể là trước cả khi Mỵ nương cưới Sơn tinh.
Số nguyên tố là những số nguyên dương chỉ chia hết đươc cho chính nó. Ví dụ như 5; 6 không phải là số nguyên tố vì nó chia hết cho 2. Các số nguyên tố nhỏ nhất là 2,3,5,7,11,13,17,19, 23,29, 31, 37....Số 1, thấp cổ bé họng, không được vào hội. Thật ra lý do sâu xa hơn là vì một định lý, xưa như quả đất, là tất cả các số nguyên dương đều có thể viết dưới dạng tích của một số nguyên tố, ví dụ như 6=2 nhân 3. Ai cũng biết là nhân với 1 thì chả thêm vị gì, nên chàng đã bị loại.
Từ thời Napoleon, người ta đã biết là có vô hạn số nguyên tố. Tức cái dãy 2,3,5...ở trên nó sẽ kéo dài vô hạn. Một trong những câu hỏi nổi tiếng và trung tâm nhất của toán học, là cái sự kéo dài đó nó diễn ra như thế nào. Chẳng hạn bạn thấy ở trên có tới 8 số nguyên tố giưã 1 và 20, nhưng giữa 21 và 40 chỉ còn 4 số. Tức tần suất xuất hiện của số nguyên tố ngày một giảm đi. Cũng như số lần hẹn hò của các cặp vợ chồng trẻ, theo thời gian. Nhưng giảm đi như thế nào ? Trong cả hai trường hợp, bài toán đều chưa có lời giải hoàn chỉnh.
Nói cho chính xác hơn, chúng ta biết khá nhiều về câu hỏi thứ nhất.Định luật phân bố của số nguyên tố, một trong nhưng công trình nổi tiếng nhất của toán học, nói rằng trong N số nguyên dương đầu tiên có chừng f(N)= N/log N số nguyên tố, với N đủ lớn. "Có chừng" ở đây có nghĩa là công thức này có sai số, tạm goi là x(N), nhưng sai số x(N) này nhỏ so với f(N). Chính xác là x(N)/ f(N) tiến đến 0 khi N tiến ra vô cùng. Đinh luật này được hai nhà toán học Hadamard và de la Vallle Paussin chứng minh (độc lâp với nhau) trong cùng một năm (1896), dựa trên một số ý tưởng đột phá của Riemann, tìm ra chừng 30 năm trước đó. Sau chứng minh này, có rất nhiều chứng minh khác được tìm ra. Nổi tiếng nhất có lẽ là chứng minh của Erdos và Selberg (1949). Thật thà mà nói, đây không phải chứng minh hay nhât hay ngắn nhất, nhưng câu chuyện xảy ra giữa hai cụ này là một chương rất đặc biệt trong lịch sử toán học. Ngoài ra công trình này đóng vai trò khá quan trọng trong giải thưởng Fields của Selberg (1950).
Câu hỏi tiếp theo sẽ là cái sai số x(N) là bao nhiêu, hay nói cách khác, x(N)/f(N) tiến đến 0 nhanh thế nào cùng với N. Giả thiết Riemann, giả thiết nổi tiếng nhất trong toán hiện đại, nếu đúng, sẽ cho ta một câu trả lời chính xác. Giả thiết này là một trong những bài toán triệu đô. Theo sự đánh giá của mình, với tốc độ lạm phát hiện tại, thì đến ngày một nhà toán học xuất chúng giải quyết giả thiết Riemann, rất có thể triệu đô sẽ chỉ mua được 5 cân gạo và 3 con gà. An ủi ở đây là cả 3 và 5 đều là số nguyên tố.
Lan man mãi, ta phải quay lại anh Maynard. Gà và gạo được chọn, vì chúng là những thứ rất thân quen với người Việt chúng ta. Nhưng 3 và 5, thì là vì chúng đặt biệt. Hai số này là một cặp nguyên tố "sinh đôi".
Trẻ con sinh đôi sẽ ra đời sau nhau vài phút. Số nguyên tố "sinh đôi" nếu chúng cách nhau càng ít càng tốt. Trừ cặp 2,3 đáng ghét, khoảng cách giữa hai số nguyên tố phải ít nhất là 2, bởi sau số 2 tất cả các số nguyên tố phải lẻ. Nếu khoảng cách chính xác là 2, thì cặp đó là "sinh đôi". (Vi dụ 5 và 7 là một cặp sinh đôi khác.) Giả thiết "nguyên tố sinh đôi" (twin prime cọnjecture) nói rằng số cặp nguyên tố là vô hạn.
Giả thiết này cũng vô cùng nổi tiếng, và cũng ôi thôi là khó. Bởi lẽ số nguyên tố, như định lý N/log N ở trên đã nói, ngày càng thưa đi, nghĩa là khoảng cách nói chung phải tăng lên. Thâm chí định lý này nói rằng nếu một số nguyên tố có độ lớn là N, thì khoảng cách đến anh bạn gần nhất của nó, trong phần lớn các trường hợp, sẽ là log N. Giả thiết sinh đôi, bởi vậy, là trái với lẽ thường tình. Nó nói rằng các trường hợp đặc biệt, thậm chí đặc biệt nhất có thể, vẫn xảy ra, và xảy ra vô hạn lần.
Ròng rã nhiều thế kỷ, các nhà toán học căm cụi tìm, hay chứng minh sự tồn tại, của các cặp số nguyên tố mà khoảng cách của chúng nhỏ hơn đáng kể so với trường hợp "thường tình". Hỡi ơi trời chẳng chiều người, cho đến cách đây 10 năm, kết quả tốt nhất của họ là tìm được những cặp mà log N được thay bằng c log N, trong đó c là một hằng số dương nhỏ bất kỳ với N tiến ra vô cùng.
Chấn động xảy ra năm 2013; nhưng nó lại chẳng phải từ anh Maynard. Chấn động này đến từ Zhang, một nhà toán học gốc Trung quốc, khi anh chứng minh là có vô số cặp số nguyên tố mà khoảng cách giữa chúng nhiều nhất là 70 triêu. 70 triệu nghe có vẻ to, nhưng quan trọng là nó không phụ thuộc vào độ lớn của các số nguyên tố trong cuộc. So với các kết quả trước, nó nhảy vọt khỏi sự mơ ước của các chuyên gia trong cuộc. Thú vị hơn nữa, anh Zhang là tay chơi "nghiêp dư", theo nghĩa là anh không phải giáo sư của trường đại học nào, và trước đó chả ai biết đến anh cả. Có giai đoạn thất nghiệp, anh còn phải đi bán bánh. Nói nôm na, Lọ lem của toán học đúng là anh.
Đáng tiếc, lúc đó anh Zhang đã gần 60, nên trượt giải Fields. Bù lại anh được khá nhiều giải khác, trong đó có giải McAthur, được coi là giành cho các "thiên tài". Và anh có job, cố định.
Bây giờ mới đến anh Maynard. Anh bước vào câu chuyện bởi vì khi Zhang đăng công trình của mình và gặt hái vinh quang, Maynard cũng đang trên con đường tiến tới một kết quả tương tự---và lúc đó, mới làm xong luận án tiến sĩ, cũng chả mấy ai biết tới anh hết.
Thường thì trâu chậm uống nước đục, nhưng Maynard không nản chí, vì phương pháp của anh có chỗ độc đáo, khác với phương pháp của Zhang. Nó đã dẫn tới một kết quả mạnh hơn, đó là cho ngoài việc sinh đôi, ta có thể nghiên cứu sinh ba, sinh bốn, sinh năm vvv.
Sự việc bây giờ đã khá dễ hiểu. Nếu tại thời điểm này, bạn chưa ngủ gật hay chuyển sang xem phim ngôn tình, thì dễ dang đoan được kết quả của Maynard là gì: anh ấy chứng mình rằng với số k cho trước (k=2,3,45,..), có một số c(k) chỉ phụ thuộc vào k, để tồn tại vô số bộ k số nguyên tố, trong đó khoảng cách giữa số lớn nhất và số nhỏ nhất bị chặn trên bởi c(k). Trong trường hợp k=2, đó là kết quả của Zhang; ngay trong trường hợp này, c(2) của Maynard cũng giảm đáng kể, từ 70 triệu xuống còn đơn vị trăm. Tuy vậy, việc giảm c(2) xuống 2 (the original twin prime cọnjecture) vấn được coi là quá khó với các công cụ hiện có.
Một kêt quả nổi bật khác của Maynard, cũng về khoảng cách giữa hai số gần nhất, nhưng lại liên quan đến chặn trên. Như đã nói ở trên, khoảng cách này trung bình là log N (nếu hai số ta nói đến có độ lớn N). Tìm ra các cặp có khoảng cách nhỏ hơn log N đáng kể đã khó, mà tìm ra các cặp có khoảng cách lớn hơn log N đáng kể cũng khó nốt. Kêt quả của Maynard hịện đang là kỷ lục cho câu hỏi thứ hai. Ta không viết công thức cụ thể ra vì nó khá phức tạp, nhưng các bước kỹ thuật để đi đến kêt quả này cũng rất sáng tạo.
Một điểm thú vị nữa, cả hai kết quả của Maynard được chứng minh cùng một lúc với Terence Tao (và một nhóm đồng nghiệp). Nhà toán học giỏi có nhiều, nhưng điều đáng khâm phục nhất về Terry là anh ấy có thể làm việc cũng một lúc trên 3, 4 lĩnh vực khác nhau, và trên lĩnh vực nào cũng hoặc đối đầu, hoặc cộng tác, với những chuyên gia đầu ngành của lĩnh vực đó, và tạo ra các công trình bậc nhất. Kiểu như bạn vừa chơi bóng đá với Ronaldo trong trận chung kết C1, và vừa đối đầu với Le Bronn James trong play-off của NBA vậy.
May mắn, Tao đã được giải Fields rồi (ngẫu nhiên, đóng góp quan trọng cho giải của Tao cũng là công trình về số nguyên tố, chứng minh sự tồn tại của cấp số cộng có độ dài bất kỳ trong dãy số nguyên tố, làm cùng với Green). Túm lại, những công trình có tính đột phá về số nguyên tố, chẳng những là hay, mà gần như chắc chắn sẽ dẫn tới các giải thưởng to đùng...
Vậy có thơ rằng
Working hard, day and night
Prime cùng với Prize một vần.
Sưu tầm: Van Vu
05/07/2022
June Huh – Tài năng toán học nở muộn
22/07/2017 - Kevin Hartnett
Một sáng ấm áp đầu xuân, June Huh tình nguyện đến giảng trong khóa học nâng cao về đại số giao hoán dành cho sinh viên đại học. Là thành viên của Viện nghiên cứu cao cấp Princeton (IAS), Huh không có nghĩa vụ giảng dạy nhưng anh cảm thấy mình làm được điều gì đó có ích mỗi khi giảng bài, khác với khi làm nghiên cứu đa số thời gian trôi qua mà không mang lại kết quả gì hữu dụng cụ thể. Trong vòng 80 phút buổi giảng hôm đó, Huh hướng dẫn học trò về phép chứng minh cho một định lý của nhà toán học Đức David Hilbert, một trong những đột phá quan trọng nhất của nền toán học thế kỷ 20. Rất ít trường đại học dạy đại số giao hoán cho sinh viên, nhưng Princeton là ngoại lệ, và sinh viên tham gia khóa học của Huh lại càng xuất chúng – một em trong số đó là người duy nhất từng giành năm huy chương vàng liên tiếp tại các kỳ thi Olympic Toán Quốc tế.
Sự nghiệp toán học của Huh bắt đầu theo cách khiêm tốn hơn rất nhiều so với các học trò của anh. Bị điểm kém trong một bài kiểm tra từ hồi tiểu học đã khiến cậu bé Huh tin rằng mình không giỏi toán. Ở tuổi vị thành niên, cậu mơ ước trở thành một nhà thơ. Cậu đã không chọn ngành Toán khi học đại học; sau này khi đăng ký làm tiến sỹ ngành toán, cậu bị hầu hết tất cả các trường từ chối. Nhưng chín năm sau, ở tuổi 34, Huh đang ngự ở đỉnh cao của thế giới toán học. Anh trở nên nổi tiếng nhờ chứng minh được một vấn đề đã có từ lâu, được gọi là giả thuyết Rota cộng tác với hai nhà toán học Eric Katz và Karim Adiprasito.
Đáng chú ý hơn là phương thức mà Huh và những người cộng tác cùng anh tìm ra cách chứng minh – nhận thức lại các khái niệm trong một lĩnh vực toán học bằng những tri thức tưởng chừng không hề liên quan thuộc một lĩnh vực toán học khác. Mùa xuân năm ngoái, IAS trao cho Huh một khoản tài trợ dài hạn mà trước đây chỉ được mở rộng cho ba nhà toán học trẻ. Hai trong số đó (Vladimir Voevosky và Ngô Bảo Châu) sau khi nhận tài trợ đã giành huy chương Fields, giải thưởng cao quý nhất trong toán học.
Việc Huh có được vị thế này sau khi đã bắt đầu quá muộn màng với toán học là điều hầu như không tưởng, cũng giống như một vận động viên bắt đầu cầm vợt học tennis khi đã 18 tuổi nhưng đến 20 tuổi đã thắng giải Wimbledon. Đó là một kiểu hành trình từ trên trời rơi xuống mà đơn giản là khó hình dung có thể xảy ra trong toán học, lĩnh vực đòi hỏi người ta phải mất nhiều năm dưới sự huấn luyện đặc biệt, chỉ để đến được vị trí có khả năng tạo ra những khám phá mới.
Nhưng mặt khác, chính chặng đường khởi đầu đầy độc đáo là một yếu tố quan trọng dẫn tới thành công của Huh. Trong đó phải kể đến cuộc gặp gỡ tình cờ của anh, vào năm cuối đại học, với một nhà toán học huyền thoại, người bằng cách nào đó nhận ra tài năng trong Huh mà chính bản thân anh cũng không ý thức được.
Cuộc tập sự tình cờ
Huh sinh năm 1983 tại California, nơi bố mẹ anh theo học đại học. Họ trở về Seoul, Hàn Quốc, khi anh lên hai. Ở đó, bố anh dạy thống kê và mẹ anh trở thành một trong những giáo sư văn học Nga đầu tiên ở Hàn Quốc kể từ khi bắt đầu Chiến tranh Lạnh.
Sau lần bị điểm kém kiểm tra môn toán ở trường tiểu học, Huh nói rằng anh đã nuôi dưỡng một thái độ phòng vệ trước môn học này: Anh không nghĩ rằng mình giỏi toán, và quyết định coi toán như một lĩnh vực khô khan nơi chỉ có những mệnh đề logic chồng chất nối tiếp nhau. Ở tuổi thiếu niên, anh chọn thơ, coi đó là đỉnh cao cho cách biểu đạt sáng tạo đích thực. “Tôi biết rằng mình thông minh, nhưng tôi không thể chứng minh điều đó thông qua các điểm số, do vậy tôi bắt đầu làm thơ,” Huh nói.
Huh viết nhiều bài thơ, và một vài truyện dài, hầu hết là về những trải nghiệm tuổi thiếu niên của mình. Tuy nhiên chúng chưa từng được xuất bản. Tới khi theo học ở Đại học Quốc gia (ĐHQG) Seoul năm 2002, anh kết luận rằng thơ sẽ không thể nuôi sống mình, do vậy anh quyết định trở thành một phóng viên khoa học. Huh chọn chuyên ngành thiên văn và vật lý, có lẽ như một lựa chọn vô thức xuất phát từ năng lực tư duy tính toán tiềm ẩn trong anh.
Khi Huh 24 tuổi, đang trong năm cuối đại học, nhà toán học Nhật Bản nổi tiếng Heisuke Hironaka đến thỉnh giảng ở ĐHQG Seoul. Khi đó Hironaka đã hơn 70 tuổi, là một người cực kỳ nổi tiếng ở Nhật Bản và Hàn Quốc. Ông từng nhận giải thưởng Fields năm 1970 và sau đó viết cuốn hồi ký bán rất chạy, tựa đề Niềm vui học tập (The Joy of Learning) mà nhiều thế hệ các bậc cha mẹ Hàn Quốc và Nhật Bản từng mua tặng con cái mình với hi vọng sẽ truyền cảm hứng cho chúng trở thành nhà toán học vĩ đại kế tiếp. Ở ĐHQG Seoul, ông dạy một khóa học dài một năm về một lĩnh vực rất rộng của toán học là hình học đại số. Huh đến tham dự với ý nghĩ rằng Hironaka có thể trở thành nhân vật cho bài báo đầu tiên của mình.
Ban đầu, Huh là một trong số hơn 100 sinh viên đến nghe giảng, bao gồm rất nhiều sinh viên ngành toán, nhưng chỉ sau ít tuần con số này đã giảm xuống chỉ còn một nhúm. “Các sinh viên ngành toán bỏ dở bởi họ không hiểu gì cả. Dĩ nhiên tôi cũng chẳng hiểu gì… ngoài một vài ví dụ đơn giản mà ông ấy giảng trên lớp, và với tôi thế là đủ rồi.” Sau bài giảng, Huh luôn đến nói chuyện với Hironaka, và cả hai nhanh chóng bắt đầu ăn trưa cùng nhau. Hironaka nhớ về khởi đầu của Huh. “Tôi không từ chối các sinh viên, nhưng không phải lúc nào tôi cũng tìm kiếm họ, và cậu ấy đã đến với tôi,” Hironaka nhớ lại.
Huh cố gắng tận dụng các bữa trưa để hỏi Hironaka về bản thân ông, nhưng câu chuyện luôn quay trở lại với toán học. Khi ấy, Huh cố gắng không để lộ hiểu biết toán học ít ỏi của mình. “Bằng cách nào đó tôi đã rất giỏi tỏ ra hiểu những gì ông đang nói,” Huh kể. Quả thực, khi ấy Hironaka không hề nhận ra Huh thiếu được đào tạo bài bản đến mức nào. “Tôi không nhớ có chuyện đó, [nhưng] cậu ấy đã tạo cho tôi ấn tượng tương đối sâu sắc,” ông nói.
Khi các buổi trò chuyện vào bữa trưa tiếp tục, mối quan hệ của họ cũng phát triển theo. Huh tốt nghiệp, và Hironaka ở lại ĐHQG Seoul thêm hai năm. Trong suốt thời kỳ ấy, Huh bắt đầu theo học chương trình thạc sĩ toán học, chủ yếu dưới sự hướng dẫn của Hironaka. Hai người gần như luôn đi cùng nhau. Thỉnh thoảng Hironaka quay trở lại Nhật Bản, và Huh sẽ đi cùng, xách giúp ông hành lý lên máy bay, thậm chí ở cùng Hironaka và vợ ông tại căn hộ của họ ở Kyoto.
“Tôi đã hỏi rằng liệu cậu ấy có muốn thuê khách sạn, và Huh trả lời không quen với khách sạn. Do vậy cậu ấy ở một góc trong căn hộ của tôi,” Hironaka kể lại. Ở Kyoto và Seoul, Hironaka và Huh thường ra ngoài ăn hoặc đi bộ đường dài cùng nhau, trên đường đi Hironaka thường dừng lại để chụp ảnh hoa. Họ trở thành bạn. “Tôi thích cậu ấy và cậu ấy thích tôi, vì thế chúng tôi cũng nói những chuyện phiếm ngoài toán học,” Hironaka nói.
Trong khi đó, Hironaka tiếp tục kèm cặp Huh, đi từ những ví dụ cụ thể mà Huh có thể hiểu được thay vì giới thiệu trực tiếp những lý thuyết tổng quát vượt quá tầm nắm bắt của Huh. Hironaka dạy Huh về các hình thái của lý thuyết kỳ dị, phân ngành từng giúp ông thu được những kết quả nổi tiếng nhất của mình. Suốt vài thập kỷ, Hironaka cố gắng tìm kiếm phép chứng minh cho một vấn đề mở – có tên là giải kỳ dị trong trường hợp đặc số p. “Đối với ông, đó là một dự án trọn đời, và là chủ đề chính trong những câu chuyện của chúng tôi,” Huh kể. “Rõ ràng, ông muốn tôi tiếp tục công trình của ông.”
Năm 2009, dưới sự thôi thúc của Hironaka, Huh đăng ký học sau đại học ở khoảng một tá các trường ở Mỹ. Hồ sơ của anh không mấy thuyết phục: anh không phải sinh viên ngành toán, mới chỉ theo học một vài lớp ở trình độ sau đại học, thành tích của anh ở những lớp ấy không có gì nổi bật. Việc nhận anh vào học phần lớn dựa vào lời giới thiệu từ Hironaka. Hầu hết hội đồng tuyển sinh các trường không coi trọng hồ sơ của Huh và từ chối anh, ngoại trừ Đại học Illinois, Urbana-Champaign, nơi anh bắt đầu theo học vào mùa thu năm 2009.
Quy luật bí ẩn
Ở Illinois, Huh bắt đầu công trình mà sau này dẫn tới phép chứng minh giả thuyết Rota. Đây là vấn đề được nhà toán học người Ý Gian-Carlo Rota đề xuất cách đây 56 năm, liên quan tới các đối tượng tổ hợp – những cấu trúc dạng Tinkertoy, giống như các đồ thị, là “tổ hợp” của nhiều điểm và đường thẳng gắn liền với nhau.
Các nhà toán học ưa thích vấn đề sau: Có bao nhiêu cách tô màu các đỉnh của tam giác, với số màu cho trước và tuân theo quy tắc hai đỉnh bất kỳ nối với nhau qua một cạnh đều không được cùng màu. Giả sử rằng bạn có q màu. Các lựa chọn màu khả dĩ như sau:
có q lựa chọn cho đỉnh đầu tiên, vì khi bắt đầu, bạn có thể dùng bất kỳ màu nào.
Có q-1 lựa chọn cho đỉnh thứ hai, vì bạn có thể lựa chọn bất kỳ màu nào trong số những màu còn lại, bỏ ra màu đã tô đỉnh đầu tiên.
Có q-2 lựa chọn cho đỉnh thứ ba, bởi vì bạn có thể lựa chọn bất kỳ màu nào trong số những màu còn lại, loại trừ hai màu đã tô hai đỉnh đầu tiên.
Tổng số các cách tô màu sẽ bằng với tích tất cả các lựa chọn, hay trong trường hợp này là q×(q-1)×(q-2)=q^3-3q^2+2q.
Vế phải của phương trình trên được gọi là đa thức sắc số cho đồ thị này, trong đó các hệ số của nó luôn tạo thành dãy đơn mốt và lõm-lôgarít.
Bạn có thể tưởng tượng về một số vô hạn các đồ thị, đồ thị với nhiều đỉnh và nhiều cạnh kết nối với nhau theo số cách bất kỳ, nhưng mọi đồ thị bất kỳ trong số này đều có một đa thức sắc số duy nhất. Và trong tất cả những đồ thị mà các nhà toán học đã nghiên cứu, hệ số của đa thức sắc số của chúng đều luôn đơn mốt và lõm-lôgarít. Mệnh đề phát biểu rằng thực tế này luôn xảy ra được gọi là giả thuyết Read. Huh chính là người chứng minh nó.
Một điều đáng chú ý là đa thức sắc số cho một đồ thị bất kỳ có thể được định nghĩa thông qua đa thức sắc số của đồ thị con. Và các hệ số của những đa thức sắc số này cũng luôn lõm-lôgarít. Nhưng khi bạn cộng hay trừ hai dãy lõm-lôgarít, dãy thu được thường không nhất thiết phải lõm-lôgarít. Bởi vậy, bạn sẽ kỳ vọng rằng tính lõm-lôgarít biến mất trong quá trình tổng hợp các đa thức sắc số. Nhưng không, nó không biến mất. “Đó là điều khiến mọi người tò mò về hiện tượng lõm-lôgarít này,” Huh nói.
Tìm kiếm cấu trúc ẩn giấu
Huh không hề biết gì về những thông tin trên khi anh mới đặt chân đến Illinois. Hầu hết các học viên sau đại học năm đầu dành nhiều thời gian ở lớp hơn cho nghiên cứu của chính mình, nhưng sau ba năm tập sự cùng Hironaka, Huh đã có những ý tưởng mà anh muốn theo đuổi.
Trong suốt mùa đông đầu tiên ở miền Trung Tây của Hoa Kỳ, Huh đã phát triển các kỹ thuật để áp dụng lý thuyết kỳ dị, tâm điểm cho nghiên cứu của anh với Hironaka, lên lý thuyết đồ thị. Trong quá trình đó, Huh nhận thấy khi xây dựng một kỳ dị từ một đồ thị, người ta đột nhiên có thể sử dụng lý thuyết kỳ dị để kiểm tra những tính chất của đồ thị ban đầu – chẳng hạn, để giải thích tại sao các hệ số của một đa thức sinh ra từ đồ thị lại tuân theo một hình mẫu lõm-lôgarít.
Điều này quả là lý thú với Huh, khiến anh tìm lại lịch sử lý thuyết đồ thị để xem liệu có ai từng lý giải về những quy luật lõm-lôgarít. Anh phát hiện ra rằng, với các nhà lý thuyết đồ thị, những quy luật này còn hoàn toàn bí ẩn.
“Tôi nhận thấy quy luật mà tôi quan sát thấy thực ra là một giả thuyết nổi tiếng trong lý thuyết đồ thị, giả thuyết Read. Có thể nói rằng tôi đã giải quyết được vấn đề từ khi chưa biết đến vấn đề ấy,” Huh nói.
Phép chứng minh đầy tình cờ của Huh cho giả thuyết Read cũng như cách anh kết hợp lý thuyết kỳ dị với các đồ thị có thể được coi như một kết quả từ cách tiếp cận ngây thơ của anh với toán học. Hầu như anh đã tự học các chủ đề này hoặc thông qua việc nghiên cứu không chính thức cùng Hironaka. Những người tìm hiểu quá trình thăng tiến của anh trong vòng vài năm qua cho rằng kinh nghiệm này sẽ khiến anh ít bị ràng buộc bởi quan niệm thông thường khi cân nhắc đâu là cách tiếp cận đáng theo đuổi trong toán học. “Nếu bạn nhìn toán học kiểu như lục địa chia thành các quốc gia, tôi nghĩ rằng, ở trường hợp của June, đã không có ai nói với anh có những biên giới như vậy. Rõ ràng anh ấy đã không bị cản trở bởi bất kỳ ranh giới nào,” Robbert Dijkgraaf, giám đốc IAS nói.
Không lâu sau khi đăng chứng minh của mình cho giả thuyết Read, Đại học Michigan đã mời Huh đến giảng về chứng minh của anh. Ngày 3/12/2010, Huh diễn thuyết trước một khán phòng chật cứng các nhà toán học, nhiều người trong số họ chỉ một năm trước đã từng loại hồ sơ xin học tiến sỹ của anh. Đến thời điểm này, tài năng của Huh đã bộc lộ rõ ràng trước giới toán học.
Jess Kass là một nghiên cứu sinh sau tiến sĩ ngành Toán ở Michigan vào thời điểm đó. Ngay trước khi Huh đến, một thành viên lâu năm của khoa đã khuyến khích Kass đến nghe bài giảng, bởi “30 năm sau, cậu có thể nói với cháu chắt rằng mình từng nghe Huh nói chuyện trước khi cậu ta trở nên nổi tiếng,” Kass, người giờ đây đã là một giáo sư ở Đại học Nam Carolina, nhớ lại.
Bài giảng của Huh không làm giới toán học thất vọng. “Bài giảng rất hoàn chỉnh và sáng sủa; đi thẳng vào tâm điểm. Quả là hơi khác thường khi một người mới bắt đầu học sau đại học lại có thể trình bày bài giảng gọn gàng đến vậy,” Mircea Mustaţă, một nhà toán học ở Michigan, kể lại.
Sau bài giảng đó, khoa Toán Đại học Michigan mời Huh chuyển đến học, và anh rời sang đó năm 2011. Khi ấy, anh đã biết rằng giả thuyết Read chỉ là một trường hợp đặc biệt của một vấn đề rộng và quan trọng hơn, – giả thuyết Rota.
Giả thuyết Rota rất giống với giả thuyết Read nhưng gắn với các đối tượng tổ hợp trừu tượng hơn các đồ thị, gọi là “matroid” (một đồ thị có thể được coi là một dạng matroid cụ thể) và cho một dạng đa thức phương trình khác từ mỗi matroid, gọi là “đa thức sắc số”. Nhưng vấn đề cơ sở thì như nhau: Giả thuyết Rota dự đoán rằng các hệ số của đa thức sắc số luôn luôn lõm-lôgarít cho mỗi matroid bất kỳ.
Mệnh đề này thật đơn giản và có nhiều bằng chứng phong phú, nhưng việc chứng minh nó – giải thích tại sao tính lõm-lôgarít lại xảy ra – rất khó. Tự thân các matroid không có dấu hiệu gì cho phép lý giải tính lõm-lôgarít xảy ra đều đặn khi bạn cộng hay trừ các đa thức sắc số của các matroid con (cũng như không có lý do hiển nhiên nào cho việc tính lõm-lôgarít xảy ra khi bạn cộng hay trừ các đa thức sắc số của đồ thị). Bất cứ khi nào thấy một quy luật mà không có nguyên nhân hiển nhiên, một cách tự nhiên chúng ta thường đào sâu suy nghĩ hơn – ví như việc tìm kiếm cội rễ sẽ giúp giải thích về cái cây vậy. Đó chính là việc Huh đã làm khi anh và các cộng sự bắt đầu tấn công giả thuyết Rota.
Ban đầu Huh tìm kiếm những phương cách để mở rộng các kỹ thuật từ lý thuyết kỳ dị mà anh đã sử dụng cho giả thuyết Read, nhưng anh nhanh chóng nhận ra rằng chúng không áp dụng được trong địa hạt các matroid trừu tượng hơn. Thất bại này khiến anh quay sang tìm kiếm các cấu trúc khác ẩn giấu bên dưới các matroid.
Vượt qua các ranh giới
Một vài trong số những bước nhảy lớn nhất của tri thức xảy ra khi ai đó mở rộng một lý thuyết đã có chỗ đứng vững chắc trong một lĩnh vực sang một hiện tượng dường như chẳng có gì liên quan trong lĩnh vực khác. Ví dụ như lực hấp dẫn. Mọi người luôn hiểu rằng, vật phải rơi xuống đất khi thả từ một độ cao nhất định, trong khi Newton nhận ra rằng cùng một cơ chế như vậy có thể giải thích chuyển động của các hành tinh. Trong toán học cũng có những bước nhảy như vậy.
Công trình của Huh về giả thuyết Rota liên quan tới việc nhận thức lại về khái niệm đối với một lĩnh vực được coi trọng trong toán học gọi là lý thuyết Hodge. Lý thuyết này được nhà toán học Scotland William Hodge phát triển vào những năm 50 của thế kỷ trước, trong đó các đối tượng được quan tâm là “các vành đối đồng điều của các đa tạp đại số xạ ảnh trơn”.
Thật khó tin rằng có thể tồn tại mối liên hệ giữa lý thuyết Hodge và các đồ thị hay matroid. Các vành đối đồng điều trong lý thuyết Hodge nảy sinh từ các hàm trơn gắn với khái niệm về sự vô hạn. Ngược lại, các đối tượng tổ hợp như đồ thị hay matroid là những đối tượng thuần túy rời rạc – tập hợp của những chấm điểm và các thanh ngắn. Việc hỏi lý thuyết Hodge mang nghĩa gì trong khung cảnh của các matroid thoạt nghe thật vô nghĩa, cũng giống như hỏi làm thế nào để lấy căn bậc hai của một hình cầu.
Nhưng có một lý do khiến câu hỏi này đáng được đặt ra. Trong hơn 60 năm kể từ khi lý thuyết Hodge được đề xuất, các nhà toán học đã tìm ra một số ví dụ cho các cấu trúc kiểu Hodge xuất hiện trong những trường hợp cách xa bối cảnh đại số ban đầu. Nó cũng như mối quan hệ Pythagoras, đầu tiên tưởng chừng chỉ là quan hệ giữa các cạnh tam giác vuông, nhưng hóa ra cũng thể hiện sự phân bố của các số nguyên tố.
“Có cảm giác rằng những cấu trúc này, nếu tồn tại, thì sẽ rất cơ bản. Chúng giải thích các tính chất trong cấu trúc toán học của bạn mà không thể giải thích theo những phương cách khác,” Huh nói.
Một vài trong số những thiết lập mới này mang tính tổ hợp, điều này khuyến khích Huh tìm hiểu tại sao các mối liên kết trong lý thuyết Hodge có thể làm cơ sở cho những quy luật hình lõm-lôgarít. Tuy nhiên, việc tìm kiếm một khái niệm toán học quen thuộc trong một địa hạt ngoại lai là điều khó khăn. Trên thực tế, việc này hơi giống với tìm kiếm sự sống ngoài Trái đất – bạn có thể có những ý tưởng về các dấu hiệu đặc trưng của sự sống, nhưng rất khó để dự đoán dạng sống ở một nơi khác sẽ như thế nào.
Bộ ba khác thường
Vài năm gần đây, Huh thực hiện hầu hết các công trình quan trọng của mình với hai người cộng sự – Erics Kats, nhà toán học từ Đại học Ohio, và Karim Adiprasito, nhà toán học tại Đại học Hebrew Jerusalem. Họ tạo thành một bộ ba đầy khác thường.
Adiprasito ban đầu muốn trở thành một đầu bếp và dành thời gian đi du lịch một mình quanh Ấn Độ, nhưng rồi anh quyết định ổn định sự nghiệp với việc theo đuổi nghiên cứu tổ hợp, lãnh địa của lý thuyết đồ thị và các vấn đề như giả thuyết Rota. Anh thích toán từ thời phổ thông, nhưng từng quay lưng với nó vì “cảm thấy nó không đủ tính sáng tạo”. Về phần Katz, anh có một tâm hồn cuồng nhiệt và sự hiểu biết tường tận đến mức ám ảnh về các ban nhạc rock độc lập, anh từng có lúc làm DJ trên đài phát thanh của trường đại học. Trong ba người, chỉ Katz có thể được coi là con nhà nòi, anh cũng tự coi mình như một phiên dịch viên cho các ý tưởng sáng tạo khác thường của hai người còn lại, giữa một người từng dự định trở thành thi sĩ và một người từng mong muốn thành đầu bếp.
“Karim có những ý tưởng kỳ diệu đột nhiên xuất hiện, trong khi June lại có cái nhìn rất đẹp về hướng đi của toán học” Katz nói. “Thường thì rất khó để hợp nhất các ý tưởng của Kim vào cách nhìn của June, và có lẽ việc tôi làm là nói chuyện với Karim và dịch các ý tưởng của cậu ấy thành cái gì đó gần với toán học hơn.”
Katz đã biết về công trình của Huh vào năm 2011, sau khi Huh chứng minh thành công giả thuyết Read nhưng chưa tạo được bất kỳ tiến triển nào trong việc chứng minh giả thuyết Rota. Katz đọc bài chứng minh của Huh cho giả thuyết Read và nhận thấy nếu cắt ra một bước trong đó anh có thể áp dụng các phương pháp từ nó để có thể chứng minh một phần của giả thuyết Rota. Anh liên hệ với Huh và chỉ sau một vài tháng ngắn ngủi, hai người viết chung một bài báo (công bố năm 2012), giải thích tính lõm-lôgarít cho một lớp nhỏ các matroid gọi là các matroid “biểu diễn được”.
Nhưng bài báo đó không giải quyết được phần khó nhất của giả thuyết Rota – chứng minh tính lõm-lôgarít của các matroid không “biểu diễn được”, chiếm đa số trong tập tất cả các matroid. Trong bốn năm, Huh và Katz đã cố gắng và thất bại trong việc tìm cách định nghĩa một cấu trúc Hodge có nghĩa trong khung cảnh các matroid không biểu diễn được. Trong suốt thời gian đó, họ đã xác định rằng chỉ cần một khía cạnh trong lý thuyết Hodge – được gọi là định lý chỉ số Hodge – là đủ để giải thích tính lõm-lôgarít. Tuy nhiên, họ không tìm được cách chứng minh rằng định lý chỉ số Hodge cũng đúng cho các matroid.
Đó chính là lúc Adiprasito nhập hội. Năm 2015, anh đến IAS và ghé thăm Huh. Adiprasito nhận ra rằng để chứng minh định lý chỉ số Hodge đúng với các matroid, có thể thử chứng minh với một tập hợp lớn hơn các ý tưởng từ lý thuyết Hodge, bao gồm cả định lý chỉ số Hodge – tập hợp này được ba nhà toán học gọi là “gói Kähler”.
“Tôi nói với June và Eric rằng có một cách để thực sự chứng minh giả thuyết này trong một thiết lập thuần túy tổ hợp,” Adiprasito kể lại. “Rồi thật nhanh chóng chúng tôi bắt đầu với một kế hoạch. Họ đặt ra câu hỏi, còn tôi cung cấp phương pháp.”
Kỹ thuật này mang lại một chứng minh đầy đủ cho giả thuyết Rota. Tháng 11 2015, công trình của ba người được đăng trên mạng, kể từ đó thông tin này lan đi khắp giới toán học. Công trình của họ cung cấp một cách nhìn hoàn toàn tổ hợp về lý thuyết Hodge, theo đó cung cấp một cách tiếp cận hoàn toàn mới các vấn đề mở trong tổ hợp.
Công trình này cũng làm nâng cấp hồ sơ toán học của Huh. Ngoài vị trí mới của anh ở IAS, Huh thường được nhắc đến như một ứng viên cực kỳ tiềm năng cho giải thưởng Fields, được trao bốn năm một lần cho các nhà toán học tài năng nhất dưới bốn mươi tuổi. Nếu không được trao giải vào năm 2018, anh vẫn còn đủ trẻ để cạnh tranh vào năm 2022.
Người học trò trên chặng đường riêng
Quay lại thời điểm năm 2012 khi Huh tới ĐHQG Seoul để giới thiệu về chứng minh của anh cho giả thuyết Read. Hironaka là một trong số những thính giả, và ông vô cùng ngạc nhiên khi biết rằng lý thuyết kỳ dị có ứng dụng vào lý thuyết đồ thị
“Tôi nhớ rằng mình đã hỏi Huh, có phải cậu ấy chỉ tập trung toàn bộ vào lý thuyết đồ thị và đã mất hứng thú với lý thuyết kỳ dị. Cậu ấy bảo không, em vẫn hứng thú với các kỳ dị,” Hironaka nhớ lại.
Cuộc đối thoại đó xảy ra đúng lúc Huh thực sự đã chuyển qua một hướng nghiên cứu hoàn toàn mới trong toán học, nhưng anh nghĩ rằng có lẽ mình chưa sẵn sàng nói ra điều ấy – đặc biệt là với người đàn ông đã thay đổi cuộc đời anh. “Đó là lúc tôi đã rời khỏi con đường [mình đi trước đây]”, anh nói. “Tôi nghĩ rằng, ông cũng cảm nhận được điều đó, nhưng dẫu sao tôi đã quyết định đi con đường khác. Có lẽ đã có những tác động về mặt tâm lý khiến tôi không muốn thừa nhận rằng, mình đã hoàn toàn bỏ lại lý thuyết kỳ dị ở phía sau.”
Huh và Hironaka đã không gặp lại nhau kể từ đó. Hironaka giờ đã 86 tuổi. Ông đã nghỉ hưu nhưng vẫn tiếp tục nghiên cứu tìm phép chứng minh cho một vấn đề trong lý thuyết kỳ dị đã ám ảnh ông trong nhiều thập kỷ. Tháng 3 vừa qua, ông đăng một bài báo dài lên trang web cũ của mình, thuộc khoa Toán ở Đại học Harvard, trong đó khẳng định đây chính là bài chứng minh mà ông hằng theo đuổi. Các nhà toán học khác, bao gồm cả Huh, đã xem sơ bộ công trình ấy, nhưng vẫn chưa kiểm chứng được tính đúng đắn của nó. Ở tuổi này, thật khó để Hironaka đi đâu xa, nhưng ông vẫn mong có dịp gặp lại Huh. “Tôi chỉ nghe nói về cậu ấy mà thôi,” Hironaka nói.
Khi uống café trong một buổi chiều tại phòng của Huh ở campus của IAS, tôi đã hỏi anh cảm thấy thế nào khi không theo đuổi con đường nghiên cứu mà Hironaka đã hi vọng anh cất bước. Trầm ngâm giây lát, Huh nói anh cảm thấy có lỗi.
“Trong rất nhiều thời gian ở cùng với Hironaka, tôi đã phải tỏ ra mình hiểu biết nhiều hơn so với thực tế,” Huh nói. “Việc thiếu thốn nền tảng toán học đã cản trở tôi tiếp tục nghiên cứu nghiêm túc cùng ông. Nó để lại trong tôi cảm giác tựa như một bài tập về nhà dài hạn.”
Huh nhắc đến chặng đường dài mà anh đã đi từ điểm xuất phát trong toán học của mình. Anh coi đó là bước đi tốt và cần thiết cho việc phát triển nghiên cứu. Tuy nhiên, khi chúng tôi tạm biệt nhau tại một góc phố ở Princeton, anh bộc bạch: “tôi cần một không gian [riêng] để tư duy.” Anh đã tìm được lối đi vào toán học của riêng mình, và giờ anh ở đó, tiếp tục tìm kiếm con đường băng qua nó.
Nguyễn Duy Khánh lược dịch
Nguồn: https://www.wired.com/story/a-math-genius-blooms-late-and-conquers-his-field/?fbclid=IwAR1GTyejxpoZkIcyy_GqSf4AXmTfSZr-dIPAOdvJKpAnGvdND3FIM8qAGpU
A Math Genius Blooms Late and Conquers His Field June Huh thought he had no talent for math until a chance meeting with a legendary mind. A decade later, his unorthodox approach to mathematical thinking has led to major breakthroughs.