Aprende Matemática

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TEMA : Função Modular
SUBTEMA : Módulo de um número real
Definição de módulo
Sendo x ∈ |R, define-se módulo ou valor absoluto de x que se indica por |x|.
De modo geral, para calcular o módulo de um número procedemos da seguinte maneira:
 Se o número é positivo, conserva-se o sinal;
 Se o número é negativo, troca-se o sinal.
{ |x| = x , se : x ≥ 0
{ |x| = - x , se : x < 0
1º) Exemplo :
a) |0| = 0
b) |-2| = 2
c) |5| = 5
d) |-14| = 14
e) |8| = 8
f) |-√2| = √2
2º) Exemplo
Calcule :
a) |2x - 3|
b) | x – 9|
c) | x + 2|
:
a) |2x - 3| = 2x -3 ou |2x -3| = - 2x + 3
Resumindo, temos que: |2x - 3|
1º. 2x – 3 ≥ 0 → x ≥ 3/2
2º. 2x – 3 < 0 → x < 3/2
Então o resultado é :
|2x - 3| = { 2x – 3 , se : x ≥ 3/2
|2x - 3| = { -2x + 3 , se : x < 3/2
:
b) | x – 9|
| x – 9| = x – 9 ou |x – 9| = – x + 9
Resumindo, temos que : | x – 9|
| x – 9| = { x – 9 , se : x ≥ 9
| x – 9| = { – x + 9 , se : x < 9

c) | x + 2|
| x + 2| = x + 2 ou | x + 2| = - x – 2
Resumindo, temos que : | x + 2|
| x + 2| = { x + 2 , se : x ≥ - 2
| x + 2| = { - x - 2 , se : x < - 2
EQUAÇÃO MODULAR
Para resolver equações modulares, utilizamos basicamente a definição de módulo.
Sempre que tivermos uma função modular, devemos considerar que, dependendo do valor da incógnita, o valor numérico da função (entre as barras do módulo) poderá ser positivo ou negativo.
Exemplos
a) |3x – 7| = 2
:
|3x – 7| = 2
3x – 7 = 2
3x = 2 + 7
3x = 9
x = 9/3
x = 3
Ou
|3x – 7| = 2
3x – 7 = – 2
3x = – 2 + 7
3x = 5
x = 5/3
S = { 5/3 ; 5 }
b) |x|² - 9|x| + 14 = 0
:
Supondo que : |x| = t
Então a equação f**a :
t² – 9t + 14 = 0
(t – 2)(t – 7) = 0
t = 2
t = 7
Voltando a suposição : |x| = t
Se : t = 2
|x| = 2
{ x = 2
{ x = - 2
Se : t = 7
|x| = 7
{ x = 7
{ x = - 7
S = { - 7; -2; 2; 7 }
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Calcule :
|5x| = 15
| - x + 11| = 1
|x|² + 2|x| - 3 = 0
|x|² + 9|x| + 8 = 0
Esperamos que entendam a aula de hoje.
Exercitem para melhor aprenderem.

……………… Aprende Matemática………………….
… Sumário: Conjuntos
…......…….........…...Introdução………………….

Neste capítulo faremos uma revisão das principais noções da teoria dos conjuntos, naquilo que importa à Matemática Elementar. Em seguida usaremos estas noções para apresentar os principais conjuntos de números isto é no capítulo asseguir.

Def: Chamamos conjuntos a um colecção de objectos ou coisas que têm propriedades comuns ou que têm a mesma espécie.

Os conjuntos são representados por letras maiúsculas, latinas ou gregas; Os elementos dos conjuntos representam-se por letras minúsculas.

Ex: 1º) A={a,e,i,o,u} . 2º) P={2; 4;6;8...}

1.2- Representação de Conjuntos

Podemos representar os conjuntos por:
.
- Extensão: consiste em enomerar todos os seus elementos.
Compreessão: é quando os elementos dos conjuntos são representados por uma única frase, ou seja, escrever as propriedades comuns que eles têm.

..…...1.3- Tipos de Conjuntos……
..Conjunto vazio: é aquele que não possui elemento algum. Osíbolo usado para representar o conjunto vazio é Ø ou { }. Ex: 1º) { }
..Conjunto Unitário ou Singular: é aquele que possui um único elemento.
Ex: 1º)U={2}

….Conjunto Finito: é aquele que possue uma finalidade de elementos.
Ex: 1º)K={1,2,3,..,4}
…..Conjunto Infinito ou Não finito: é aquele que possue uma infinidade de elementos.
Ex: 1º) I={1,2,3,...}
..Conjuntos Iguais: dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Simbolicamente teremos: A=B.
Ex.: A=(1,2,3,4)
…...B=(1,2,3,4)
… A=B

…….Conjunto Universo: é aquele que tem todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.
Geralmente, um conjunto universo é representado pela letra U.
.
Ex: 1º) Quais são os números menores que 5?
Obs: A resposta irá depender do conjunto universo com que se estiver trabalhando.

Vejamos:

- Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta os números: 0,1,2,3 e 4. Também podemos indicar a resposta por S={0,1,2,3,4}, em que S é chamado conjunto solução.
.
- Se o conjunto universo for o conjunto dos numeros inteiros, teremos: S={…-1,0,1,...}
.
- Se o conjunto universo for o conjunto dos numeros naturais pares, teremos como conjunto S={2,4,6...}

2º) Resolva a seguite equação X+2=0.

- Se o conjunto universo for o conjunto dos números inteiros, a solução da equação será S={-2}.
- Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, a solução da equação será S ={}.

Estarei de volta brevemente pessoal, para um curso completo de Matemática fiquem ligados à página.

{x+y+xy=3
{y+z+yz=8
{z+x+zx=15

x+4 = 0
b) x²-6x+5 = 0
c) x²-13x+42 = 0
d) x²+4x+3 = 0
e) x²+24x+144 = 0
f) x²-16x+55 = 0
g) x⁴-9x²+8 = 0
h) 2x⁴+5x²-3 = 0
i) (x-2)⁴ = 16
j) 3•(x-2)²•(x-5)³ = 0
k) (4x+6)² = (2x+3)³
Pra anima a noite

Olá pessoal desculpa pela ausência, voltarei a mandar aulas daqui algumas semanas

Queres vai na página
Att:Não é de graça

ADMINISTRADOR DA PÁGINA VEM AGRADECER À TODOS SEUS SEGUIDORES, POR PARTICIPAREM E PARTILHAR OS ARTIGOS DA PÁGINA.

EM BREVE VAMOS PASSAR A SELECIONAR A CADEIRA DE QUÍMICA.

OS VOSSOS LIKES E COMENTÁRIOS DEIXA-ME SATISFEITO E FORTALECE-ME.

CONTINUEM A FAZER CCRESCER ESTÁ PAGINA PESSOAL, ESTOU MUITO GRATO?

AS 11 MANDAREI A PRIMEIRA AULA DE QUÍMICA, FIQUEM ATENTOS

Chuva de PA.
Vem mostrar o que vales:
Escolhe o mais fácil pra ti!
Solve this:!!
1) Quantos termos devem ser somados na P.A(-5,-1,3...) a partir do 1° termo para que a soma seja 1590?
2)Ao se efectuar a soma de 59 parcelas em P.A(202,206,210...)por distração não foi somado o 35ª parcela.Qual foi a soma encontrada?
3) Determine uma P.A de 60 termos, em que a soma dos 59 primeiros termos é 12 e a soma dos 59 últimos é 130.
4)Determine uma P.A em que a soma dos 10 termos iniciais é 130 e a soma dos 50 iniciais é 3650.
5) Calcule o quoeciente entre a soma dos termos de índice ímpar e a soma dos termos de índice par da P.A finita(4,7,10,...517).
6) Qual é a soma dos múltiplos de 5 formados por três algarismos?
7) Se numa P.A, a soma dos m primeiros termos é igual a soma dos n primeiros termos, m , mostre que a soma m+n primeiros termos é igual a zero.
8) Demonstrr que em toda P.A com números ímpares de termos, o termo médio e igual à diferença entre a soma dos termos de ordem ímpar e a soma dos termos de ordem par.
9) Quais as P.A nas quais a soma de dois termos quaisquer faz parte da progressão?
10) Determine uma P.A de razão 1, sabendo que o número de termos é divisível por 3, e que a soma dos termos é 33, e queo termo de ordem n/3=4.
11) A soma de quatro termos consecutivos de uma P.A é -6, o produto do primeiro deles pelo quarto é -54. Determine esses termos.
12) Prove que se uma P.A é tal que a soma dos seua n primeiros termos é igual a n+1 vezes a metade do enézimo termo, então r=a1.
Boa apetite!!!

OLÁ PESSOAL , HOJE EU VENHO COM UM TRUQUE , PARA CALCULAR RAIZ QUADRADA PERFEITA DE UM NÚMERO TERMINADO EM 25 .

TEOREMA : PARA CALCULAR A RAIZ QUADRADA DE UM NÚMERO TERMINADO EM 25 IGNORA-SE O 25 e, PROCURA -SE DOIS NÚMEROS CONSECUTIVOS QUE O PRODUTO RESULTA NOS OUTROS DÍGITOS CONSIDERADOS , O RESULTADO É IGUAL AO MENOR FACTOR AUMENTADO DE 5 .

EX :
CALCULAR AS RAIZES SEGUINTES:
a) V225
b) V625
C) V1225
d) V2025
e) V3025

:
a) V225 =
Ignora o 25. FICAMOS COM 2 .
DOIS NÚMEROS QUE SE SEGUEm QUE O PRODUTO DÁ 2 , SÂO :
2 = 2•1 , Ficamos com o menor valor que é 1 aumenta 5 no fim . Logo :
V225 = 15

Outro exemplo :
V625 =
Ignoramos o 25 , f**amos com o 6 , procura dois número que se seguem e o produto dá 6 , são eles 2 e 3 , pois 6=2•3 , f**amos com o menor deles , teremos 2 , aumenta 5 no fim .
logo : V625 = 25

Se entendeste , resolva os outros casos !!!

.

.
:
Esta é uma das maneiras mais fáceis de utilizar o método de . Para tal, vais precisar de certas “fórmulas”, que já coloquei ai, mas tens que memorizar todas elas.
Partindo de uma equação qualquer, do tipo:
{1a + 2b = 3
{4a + 5b = 6
Coloquei os nº 1, 2, 3, 4, 5, 6 – para vocês entenderem melhor.
1ª – ! Nesta fórmula vamos trabalhar apenas com os coeficientes das variáveis, no caso(1, 2; 4, 5). E depois fazer sistema cruzado para achar o valor de “D”.
D= ║1………2║ sistema cruzado(1×5; 4×2)
…… ║4………5║
D= 1×5 – 4×2 -->>o sinal (–) é regra tá!
D= 5 – 8
D= -3
2ª – ! É simples, como estamos a calcular Da, os valores de “a” não se utilizam, usamos primeiro os valores do membro direito e depois os de “b”.
Da= ║3………2║ sistema cruzado(3×5; 6×2)
………║6………5║
Da= 3×5 – 6×2
Da= 15 – 12
Da= 3
3ª – ! Aqui primeiro utilizamos os valores de “a” , e depois os valores do membro direito. Os valores de “b” não se utilizam.
Db= ║1………3║ sistema cruzado(1×6; 4×3)
………║4………6║
Db= 1×6 – 4×3
Db= 6 – 12
Db= –6
4ª – A fórmula de “a”. Pegamos no valor de “Da” que já calculamos e dividimos pelo valor de “D”.
a = Da/D
a = 3/-3
a = -1
5ª – A fórmula de “b”. Pegamos no valor de “Db”, e dividimos pelo valor de “D”.
b = Db/D
b = -6/-3
b =2

Na verif**ação somente utilizamos os valores das variáveis (a, b).
{1a + 2b = 3
1(-1) + 2×2 = 3
-1 + 4 = 3
3 = 3
{4a + 5b = 6
4(-1) + 5×2 = 6
-4 + 10 = 6
6 = 6
DÚVIDAS???

💢ESSA AULA É MUINTO IMPORTANTE!!
💢SUMÁRIO : Números reais e dízimas
♦Números reais :
Definição : Chama - se números reais "IR" , ao conjuntos formado pelo conjunto dos números racionais "Q" e dos números irracionais "I" . Ou seja , são todos números que saiem de menos infinito ( - ∞ ) até ao mais infinito ( + ∞ ) .
Ex: ......... -12 , -11 , -10 , -9 , -8 , -7 , -6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,.....

♦Tipos de Dízimas :
- Dízima finita: É toda dízima em que tem um fim

Ex: 1/2 = 0,5 pois tem fim

-Dízima infinita : É toda dízima que não tem fim , e existem dois tipos de dízima infinita , que são :
- Dízima infinita periódica e Dízima infinita não periódica .
→Dízima infinita periódica : São aquelas em que os algarismos se repetem infinitamente .
Ex : 1/3 = 0,333....
→Dízima infinita não periódica : são aquelas que não têm fim e os seus algarismos não se repetem .
♦Números Racionais (Q) : são todos números representável em forma de dízima finita ou dízima infinita periódica~~
Ex : 3/2 = 1,5
Ex : 1/3 = 0,333(3)
♦Números irracionais (I) : são números representáveis em forma de dízima infinita não periódica ~~
Ex : √2 ; √3 ; √7 ; π ....

PROGRESSÃO ARITMÉTRICA PROGRESSÃO OU SIMPLESMENTE P.A
É uma sucessão cuja a diferença entre um termo e seu ascendente é igual a uma constante chamada razão .
Fórmula geral.
an =a1 +(n-1)r
Onde: an = termo geral ou último de termo
A1= primeiro termo
n = número de termos
r= razão da P.A.............................Fórmula da razão
r = (a1- a2) ; (a3-a2); (a4-a3); (a5-a4) ...
Em uma P.A encontramos a soma de termos que é determinada pela seguinte fórmula..
Sn=[ (a1+an ).n]/2
O termo médio da P.A
Tm = (a1+an)/2...........................................
P.A é constante quando r = 0
P.A é crescente quando r >0
P.A é decrescente quando r > 0
INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA.
Em toda sequência (a1,a2,., a(n-1), a(n) ) os termos a1 e a(n) são chamados extremos e os demais são chamados meios. Assim, na PA (0,3,6,9,12,15) os extremos são 0 e 15 enquanto os meios são 3,6,9,12.
Interpolar, inserir ou intercalar k meios aritméticos entre os números a e b signif**a obter uma PA de extremos a1 = a e an = b, com n => k+2 termos. Para determinar os meios dessa PA, é necessário calcular a razão, o que é feito assim:
an = a1+(n-1)•r => b = a+(k+1)•r => r = (b-a)/(k+1)
EXEMPLOS:
1) interpolar 5 meios aritméticos entre 1 e 2.
Vamos formar uma PA com 7 termos onde
a1 = 1 e
a7 = 2.
Temos:
a7 = a1+6r................ =>
r = (a7-a1)/6 ..............=>
r = (2-1)/6 = 1/6
Então a PA é (1, 7/6, 8/6, 9/6, 10/6, 11/6, 2)
2) intercalar 5 meios aritméticos entre -2 e 40.
Solução:
Devemos obter a razão da PA com 7 termos (2 extremos e 5 meios) em que
a1 = -2 e
a7 = 40.
Temos
a7 = a1+6r............., =>
40 = -2+6r............... =>
r = 7
Então, a PA é (-2,5,12,19,26,32,40)
Calcule a razão de uma P.A. em que o primeiro termo é 10 e o décimo quinto termo é 80...........
Resolução
:a1 = 10
a15 = 80
an= a1 + (n – 1).r
a15 = a1 + (15 – 1).r
a15 = a1 + 14.r
80 = 10 + 14.r
80 – 10 = 14.r
70 = 14.r
70/14 = r
r = 5
Inserindo-se cinco meios aritméticos entre 7 e 25 obtemos uma progressão aritmética cujo terceiro termo é:a ) 3 b) 7 c) 9 d) 11 e)133)
Calcular o primeiro termo de uma P.A. em que o quinto termo é 17e o décimo segundo termo é 52.
)Inserindo-se cinco meios aritméticos entre 7 e 25 obtemos umaprogressão aritmética cujo terceiro termo é:a) 3 b) 7 c) 9 d) 11 e)13
Quantos números inteiros e positivos, formados com 3 algarismos, são múltiplos de 13 ?
4) de 100 a 1000 quantos são os múltiplos de 2 ou 3?
5) quantos números inteiros e positivos, formados de dois ou três algarismos, não são divisíveis nem por 5 e nem por 7 ?
6) quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, não divisíveis nem por 5 e nem por 7 ?
7) inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual é o sexto termo da PA !?

HOJE O DIA É DE EXERCÍCIOS ..
a) x²-5x+4 = 0
b) x²-6x+5 = 0
c) x²-13x+42 = 0
d) x²+4x+3 = 0
e) x²+24x+144 = 0
f) x²-16x+55 = 0
g) x⁴-9x²+8 = 0
h) 2x⁴+5x²-3 = 0
i) (x-2)⁴ = 16
j) 3•(x-2)²•(x-5)³ = 0
k) (4x+6)² = (2x+3)³

Aula 1 : interpretação para problemas Matemáticos!
O mais importante na resolução de um problema (até familiares ) é saber deduzir as incógnitas para formar a equação.
Assim propõem -se a seguinte linguagem algébrica para facilitar a designação das incógnitas.
Um número = x
Um número par = 2x
Um número impar = 2x + 1
Dois números inteiros consecutivos = x e x + 1
Dois números pares consecutivos : 2x e 2x + 2
Dois números impares consecutivos = 2x+1;2x + 3
Três números inteiros consecutivos =x ; x+1 ; x+2
Tres números pares consecutivos =2x;2x+2;2x+4
Tres números impares consecutivos =2x+1;2x+3;2x+5
O inverso de um número =1/x
O simétrico de um número = - x
A idade do José = x
A idade do José daque a 4 anos = x + 4
A idade do José há 4 anos = x - 4
O triplo d'um número = 3x
A metade d'um número =x/2
A quarta parte de um número = x/4
Dois números = x e y
A soma de dois números = x + y
A diferença de dois números = x - y
O produto de dois números = x * y
O quociente de dois números = x / y
O triplo da diferença de dois números = 3 (x - y)
A soma d'um número com o inverso d'outro = x + 1/y
O dobro d'um número aumentando em qualquer unidade : 2x + q (onde q é qualquer unidade vcs entenderam ?
Boas aulas

AULA....
Sumário: Factorização ou transformação de soma em produto.
Def:
Chamamos Factorização ou transformação ao processo de por em evidencia o factor comum numa soma.
O factor comum é o termo que se encontra repetido em todas as parcelas de uma soma.
Em algums casos de transformação precisa-se-a os casos particular da transformação de soma em produto.
Casos nótaveis de Multiplicação de Binómios.
Na multiplicação de dois Binomios afirma :
Multiplica-se cada termo do primeiro factor com todos os termos do segundo factor.
1- Quadrado da soma
(x+y)²= (x+y)•(x+y) = x²+2xy+y²
2- Soma de Quadrados
x²+y²=(x+y)²-2xy
3- Diferença de Quadrados.
x²-y²= (x+y)•(x-y)
4- Quadrado da diferença
(x-y)²= (x-y)•(x-y)= x²-2xy+y²
5- Cubo da soma
(x+y)³= x³+3x²y+3xy²+y³
6- Cubo da Diferença
( x-y)³= x³-3x²y+3xy²-y³
7- Soma de Cubos
x³+y³= (x+y)•(x²-xy+y²)
8- Diferença de cubos.
x³-y³= ( x-y)•(x²+xy+y²)
9- Quadrado da soma de três termo
(x+y+z)= x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz
Exemplos...
a) x²-3x= x•(x-3)
b) x⁴-y⁴= (x-y)•(x³-x²y+xy²-y³)
c) vt+1/2•gt²= t•( v+1/2•gt)
d) mn+mx+mz+my
mn+mz+mx+my
m•(n+z+x+y)
d) 5•(c-d)-9(d+c)
Neste caso o obejectivo é factorizar o sinal do segundo factor (d+c) para (c-d).
5(c-d)-9[-(c-d) ]
5(c-d)+9(c-d)
factorizando ( c-d)
(c-d)•(5+9)
(c-d)•14
e) a³-5a²-a+5
teremos que mexer nessa expressão a³-5a²
Factorizando a²
a³-5a²-a+5
a²•(a-5)-(a-5)
Factorizando ( a-5)
(a-5)[ a²-1]
(a-5)•(a-1)•(a+1).
[a²-1] Diferença de Quadrado onde 1 pode ser escrito 1².
f ) 4a²-12ab+5b²
Para este caso falta completar o quadrado perfeito.
De 4a²-12ab
onde temos : (2a)²-2•(2a)•(3b)+(3b)²
onde vêm :
( 4a²-12ab+9b²)-9b²+5b²
(4a²-12ab+9b²)-4b²
(4a²-12ab+9b²)²-(2b)²
( 2a-3b)²-(2a)²
Diferença de Quadrado
( 2a-3b-2b)•(2a-3b+2b)
(2a-5b)•(2a-b).
g) a⁴-10a²+169
vamos transformar
a⁴+169
em uma soma de quadrado perfeito
(a²)²+(13)²
Resolvendo esta soma (a²+13)²-2•13•a²
(a⁴+26a²+169)-26a²
agora vamos por o -10a²
( a⁴+26a²+169)-26a²-10a²
( a²+13)²-36a²
( a²+13)²-(6a)²
Diferença de Quadrado.
( a²-6a+13) •(a²+6a+13).
h) a²-81
Pondo 81 na forma de potênica de expoente 2 . f**a
a²-9²= (a-9)•(a+9)
Dúvida de tudo...

EQUAÇÃO PARA ABRIR
2x³-6x²-8x+13=0
Encontre a solução.

Tema: Exponenciais
Sumário: Equações exponenciais
*Métodos de resolução
obs: o sinal ^ signif**a (elevado)
Definição;
Equações exponenciais são equações onde aparecem incógnita(variável) no expoente.
Ex:
a) 2^x=4
b) 3^x=9
c) 6^x=1
Bem, mas como fazemos para resolver esse tipo de equação?
R: Existem dois métodos usados na resolução, que são: (Redução a mesma base) e (A aplicação de logaritmo)
Nessa aula falarei apenas do método de redução a mesma base:
Esse método, como o próprio nome já nos diz, será aplicado nos membros da equação para que possamos ter então bases iguais em ambos os membros, sem esquecer que será feita algumas transformações de bases por intermédio de propriedades de potência
* Exercícios
1- Resolva as seguintes equações exponenciais:
Obs: usando o método de redução a mesma base
a) 2^x=4
se vermos bem nessa equação no membro E temos o 2 e no membro direito temos o 4, aqui o objetivo é termos as bases iguais ou seja tenho que ter o 2 nos dois membros
então, para ter base 2 noutro membro, vou decompor o 4
f**arei com
2^x=2^2
pois sabe-se que o 4=2^2 então substituo o 4 por 2^2
2^x=2^2
como já tenho mesma base, elimino-as e fico apenas com, os expoentes
x=2
verif**ação
2^x=4
onde tem x coloco 2, porque x=2
2^2=4
2.2=4
4=4
b) 3^x=9
sabe-se que 9na base 3 f**a 3^2
3^x=3^2
elimino as bases e fico apenas com
x=2
Verif**ação
3^x=9
onde tiver x coloco 2, pois x=2
3^2=9
9=9
c) 6^x=1
Agora, como faço para ter base 6 onde tem 1?
resposta simples, sabe-se que 6^0=1 então em vez de 1, posso colocar 6^0, pois têm o mesmo valor
6^x=6^0
simplifico as bases e fico com
x=0
verif**ação
6^x=1
onde tem x coloco 0, porque x=0
6^0=1
1=1
Resolva
a) 5^x=25
b) 2^x=8
c) 90^x=90
d) 10^x=100000
e) 9=81^x
f) 400=20^x
próxima aula será resolução de sistemas de exponencias.
Nota: para entenderes, tens que te dedicar e estar determinado a entender.
espero que tenham gostado e entendido
´´A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao tamanho original´´(Albert Einstein)

Para se tornar um bom estudante basta acreditaris em si mesmo e persistir com confiança e determinação.
O segredo é nunca desistir mesmo caindo.
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Bons 📑📑📑📑

Assunto: Equações Irracionais.
*Chama-se "Equação IRRACIONAL" numa incógnita a toda a expressão em que pelo menos um dos membros É UMA «Uma expressão IRRACIONAL».
Ex:
1º x+ⁿ√x=2
2º ⁿ√(x+3)=0
3º ⁿ√(x+2)- ⁿ√(x-1)=5
OBS: "n" implica dizer que o índice do RADICAL pode ser qualquer número NATURAL.
*Podemos usar o método GRÁFICO (AULA A PARTE) ou ALGÉBRICO para resolver uma função IRRACIONAL. Pelo método ALGÉBRICO utiliza-se a seguinte RELAÇÃO:
→ Sendo a=b uma função com uma INCÓGNITA e a²=b², a função que se obtém da ANTERIOR elevando os dois MEMBROS ao QUADRADO, tem-se:
• a=b → a²=b²
A equação a²=b² contem todas as soluções da equação a=b, MAS pode admitir "SOLUÇÕES ESTRANHAS".
Ex:
1• Quando à EQUAÇÃO contém "UM ÚNICO RADICAL (Vamos supor que é de índice 2)...
•Neste caso, ISOLA-SE o RADICAL num dos MEMBROS e leva-se ao ÍNDICE do RADICAL (Que neste caso estamos a falar de 2) CADA UM DOS MEMBROS.
a) 2x+√(x-2)=3x-2
2x+√(x-2)=3x-2
1º Passo: Isolar o radical...
√(x-2)=3x-2-2x
√(x-2)=x-2
2º Passo: Elevar cada AMBOS OS MEMBROS AO ÍNDICE DO RADICAL. Como neste caso o índice da raiz é 2, vamos elevar "2"...
√(x-2)=(x-2)
√(x-2)²=(x-2)²
3º Elimina-se a Raiz pelo facto do RADICANDO (x-2),estar elevado a um número igual ao do índice da raiz...No outro membro vamos aplicar a regra do binómio de NEWTON.
√(x-2)²=(x-2)²
x-2=(x)²+2•x•(-2)+(-­2)²
x-2=x²-4•x+4
x²-4•x+4-x+2=0
x²-5•x+6=0
4º Passo: Aplicar a fórmula resolvente e a fórmula de BHASKARA.
x²-5•x+6=0
a=1
b=-5
c=6
Δ=b²-4•a•c
Δ=(-5)² -4•1•6
Δ=25-24
Δ=1
OBS:
•Se Δ> 0, A equação tem duas soluções REAIS Diferentes.
•Se Δ< 0, A equação Não tem SOLUÇÃO NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS. Apenas tem solução no Conjunto dos números COMPLEXOS (i).
•Se Δ=0, A equação tem DUAS soluções REAIS IGUAIS, Ou Simplesmente Pode dizer-se que, A equação tem uma Solução REAL.
Pronto: Temos o DISCRIMINANTE ou DELTA, falta-nos encontrar as SOLUÇÕES REAIS da equação.
Δ=1...(Temos duas soluções REAIS DIFERENTES).
USANDO A FÓRMULA de BHASKARA
x⁽¹ ᵉ ² ⁾=[-b±√Δ] / (2a)
&
a=1
b=-5
c=6
x⁽¹ ᵉ ²⁾ =[-(-5)±√1] / (2•1)
x⁽¹ ᵉ ² =(5±1)/2
x¹=x'=(5-1):2
x¹=x'=4:2=2
x²=x''=(5+1):2
x²=x''=6:2=3
COMO VEMOS, TEMOS DUAS SOLUÇÕES DIFERENTES.
S=(2,3)
VERIFICAÇÃO
2x+√(x-2)=3x-2
x'=2
2x+√(x-2)=3x-2
2•2+√(2-2)=3•2-2
4+√0=6-2
4=4
Me=Md
x''=3
2x+√(x-2)=3x-2
2•3+√(3-2)=3•3-2
6+√1=9-2
6+1=7
7=7
Me=MdFeitO....
2• Quando na equação a dois, e somente DOIS RADICAIS QUADRÁTICOS (Poderia ser de qualquer índice Natural...). Nesse caso pode isolar-se os dois RADICAIS ou Um num dos MEMBROS:
a) √(2x-1)-√(x+7)=0
√(2x-1)-√(x+7)=0
√(2x-1)²=√(x+7)²
(2x-1)=(x+7)
2x-1=x+7
2x-x=7+1
x=8
S=(8)
b) QUANDO TEMOS DOIS RADICAIS E MAIS MONÓMIOS
√(x)-3-√(x-4)=-1
√(x)-3-√(x-4)=-1
√(x)-√(x-4)=-1+3
√(x)-√(x-4)=2
[√(x)-√(x-4)]²=(2)²
√(x)²+2•√(x)•[-√(x-4­)]+[-√(x-4)]²=4
x-2•√(x²-4x)+(x-4)=4
x+x-4-4=2•√(x²-4x)
(2x-8)=2•√(x²-4x)
2(x-4)=2•√(x²-4x)...­../(2)
(x-4)=√(x²-4x)
(x-4)²=√(x²-4x)²
x²+2•x•(-4)+(-4)²=(x­²-4x)
x²-8x+16=x²-4x
16=x²-x²-4x+8x
4x=16.../(4)
x=4
S=(4)
C) Quando TEMOS TRÊS RADICAIS.
√(x+3)+√(x)-√(12-3x)­=0
•ISOLAR UMA DELAS....
√(x+3)+√(x)=√(12-3x)
•SEGUIR OS PASSOS JÁ APRENDIDOS...
√(x+3)+√(x)=√(12-3x)
[√(x+3)+√(x)]²=√(12-­3x)²
(x+3)+2√[(x+3)x]+x=1­2-3x
2√(x²+3x)=12-3x-x-x-­3
[2√(x²+3x)]²=(9-5x)²
4(x²+3x)=81-2•9•5x+2­5x²
4x²+12x=81-90x+25x²
25x²-4x²-90x-12x+81=­0
21x²-102x+81=0..../­(3)
7x²-34x+27=0
USANDO A LEI DO ANULAMENTO DO PRODUTO...
7x²-34x+27=0...................­...
7x...........-27
x..............-1...................­.........
(7x-27)(x-1)=0
7x-27=0.......x-1=0
7x=27.........x=1
x=27:7........x=1
S=(1, 27/7)

TEMA: EQUAÇÕES DO 3° e 4°
SUBTEMA: RESOLUÇÕES
Hoje vamos Aprender como Resolver equações do 3 e 4° respectivamente :
Hora bem :
Podes resolver qualquer equação de grau 2 ou superior a 2 com os métodos de Ruffini , Chave e entre outros mas é mais prático resolver com o método de Ruffini.
1 - Se na equação tiver termo independente (termo que não tem variável) , procura determinar todos os possíveis divisores desse termo independente e quando encontrares , vais encontrar os valores positivos e o seu simétrico (negativo) . Se não tiver termo independente então primeira procura factorizar a variável segundo a variável de menor expoente.
2 - Vais substituir um a um desses divisores do termo independente na equação como se tivesses a fazer a verif**ação atéque um deles tornar os dois membros iguais ou seja , até que um deles verif**ar a equação.
3 - Pega o valor que verificou a equação e leva até ao dispositivo de Ruffini e efectua a divisão , onde o divisor será o valor que verificou a equação , o resto dessa divisão deve dar igual a zero.
4 - Pega o quociente e iguala zero e volta a repetir o procedimento do princípio e assim sucessivamente , até não dar mais pra dividir.
Deu pra entender?
Ex: prático:
X⁴+6x³+7x²—6x-8=0
1° : observa que os Números q dividem o ter independente na Equação á cima são:
(-8;-4;-2-1;1;2;4;8)
Agora, é só vc tirar um desses Números e considerar como SOLUÇÃO, se o valor Verif**ar será a raiz do divisor no método de Briott-Ruffin!
Vou escolher como possível SOLUÇÃO, o número 1 ; note q a escolha é opcional desde q o valor Verifique está tudo bm !
X⁴+6x³+7x²—6x-8=0
(1)⁴+6•(1)³+7•(1)²—6•(1)-8=0
1+6+7—6—8=0
14—14=0
0=0
Me=Md
Oba, o valor 1, Verificou a Equação, logo é a nossa raiz do divisor no Método de Briott-Ruffin.
X⁴+6x³+7x²—6x-8=0.........| 1......6......7.......-6........ | -8
1→→] ........1......7.......14.........| 8
-----------------------------------
------| 1......7.....14.......8......,...| 0
X³+7x²+14x+8=0
Observe q o resto foi zero, logo, Briott-Ruffin reduziu a Equação do 4° para o 3° , logo, vc pega na raiz do divisor e le altera o sinal e associa a Equação do 3°
(X-1)(X³+7x²+14x+8)=0
Agora, vc repeti novamente o procedimento passado na Equação cúbica!
X³+7x²+14x+8=0
(-2)³+7•(-2)²+14•(-2)+8=0
—8+28-28+8=0
0=0
Me=Md.........| 1......7......14....... | 8
—2.....|.......-2.....-10.......,| -8
----------------------------.........| 1......5......4..........| 0
X²+5x+4=0
(X-1)(X+2)(x²+5x+4)=0
Até ai, vc já reduziu o MÁXIMO possível a Equação, agora estas diante de uma Equação do 2°, usa a Factorização:
(X-1)(X+2)(x+4)(X+1)=0
Logo pela lei do anulamento, as Soluções sã0 :
X=1 .....V....X=-2......V.....X=-4......X=-1
S={-4;-2;-1;1}
OUTRO EXEMPLO:
a) x³ + 2x² - 2x - 1 = 0
Possíveis divisores : (-1;1)
Tentativa com (-1)
(-1)³+2•(-1)²-2•(-1)­­­­-1=0
-1+2•1+2-1=0
-1+2+1=0
2≠0
Me≠Md
Tentativa com 1
1³+2•1²-2•1-1=0
1+2•1-2-1=0
1+2-3=0
3-3=0
0=0
Me=Md
Divisor : X-1=0
a) x³ + 2x² - 2x - 1 = 0
Indo para o Briott-Ruffini f**a:
X-1=0
X=1
X³+2x²-2x-1......| 1....2.....-2.....| -1......|
1.....| .....1......3.......­­­­| 1
--------------------­­­­---......| 1....3.....1.......|­­­­ 0
(X-1)(x²+3x+1)=0
X-1=0
X=1
X²+3x+1=0
Dados:
a=1 ...........∆=b²-4ac
b=3 ...........∆=3²-4•1•­­­­1
c=1 ...........∆=9-4 → ∆=5
X⅔=[-b±√∆]/2a
X⅔=[-3±√5]/2•1
X⅔=-3±√5/2
X''=-3+√5/2
X'''=-3-√5/2
S={-3±√5/2 ; 1 }
Dúvidas????
« Lembre q o divisor, tem q ser um número q divide o termo independente cujo a sua divisão o resto será 0 ... .
Tarefa:
Bate esse para ver se valeu apenas:
3x³+7x²-4=0

Aula: Equação do terceiro grau
→ É uma equação do tipo ax³ + bx² + cx + d = 0
Onde: "a", "b", "c", e "d" são números reais.
Uma equação do terceiro grau possui 3 raízes que satisfazem a equação.
Temos a seguinte equação:
x³ - 4x² - 4x + 16 = 0
É necessário saber que nem toda equação cúbica ou do terceiro grau é possivel nos números reais ou raccionais isto é, na sua maior parte as raízes são números irracionais.
Vamos pôr em vigor a equação de cima
decompondo a equação, formando-a em duas, do primeiro grau e a terceira numa equação do segundo grau.
Nas duas utilizamos a lei do anulamento do produto, na terceira utilizamos a extraço da raiz tendo como solução três raizes: (x1, x2, x3)
Executando teremos:
X³ - 4X² - 4X - 16 = 0
X² ( X - 4 ) - 4 ( X - 4 )=0
( X - 4 ) ( X - 4 )=0 ^ X² - 4 = 0
X-4=0| .. X-4=0 | X² = 4 .........| ............|
X1=4; | X2= 4; | X= √4;.................. .. .X3 = +;-2;
Se observares bem a equação, verás que na lei do anulamento as duas raízes são as mesmas logo: C. Solução:{ 4, 2, -2}
Como confirmar se essas raízes satisfazem a equção?
R: É só verif**ar a equação substituindo as soluções nas incognitas
x³ - 4x² - 4x +16 = 0 ;;;;; para x1= 4
4³ - 4×4² -4×4 +16 = 0
64 - 64 -16 + 16 = 0
0 = 0
x³ - 4x² - 4x + 16 = 0 ;;;;;;;para x2= 2
2³ - 4×2² - 4×2 + 16 = 0
8 - 16 - 8 + 16 = 0
0 = 0
x³ - 4x² - 4x + 16 = 0 ;;;;;;; para x3 = -2
(-2)³ - 4(-2)² - 4(-2) + 16 = 0
-8 - 16 + 8 + 16 = 0
0 = 0
Assim cofirmamos que estas soluões satisfazem a equação x³ - 4x² - 4x + 16 =0

.
♦♦ QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
Editor:
« Quantos divisores tem o número 4?!fácil 4 podemos dividir por 1 ; 2 e 4 neste caso tem 3 divisores...
E o número 6045 tem quantos divisores ... Aí o bicho pega...
Mas tranquilo hoje vou ensinar–vos a determinar a quantidade de divisores de qualquer número inteiro positivo segue os passos »
Vamos determinar a quantidade de divisores do número 6045
1° Passo || REALIZAR A DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS DO NÚMERO DESEJADO.
6045 | 3
2015 | 5
403 | 13
31 | 31
1 |
Forma fatorada:
6045 = 3 × 5 × 13 × 31
Quando um número é reescrito na sua forma fatorada , f**am evidentes os expoentes dos fatores primos gerados.
« Quando os expoente não aparecem signif**a que eles valem 1 »
2° Passo || SOMAR UMA UNIDADE AO EXPOENTE DE CADA FATOR.
Os fatores: 3 × 5 × 13 × 31
Todos têm expoente 1 . Vamos mais 1 a todos os expoentes
3² × 5² × (13)² × (31)²
3° Passo || MULTIPLICAR TODOS OS EXPOENTES OBTIDOS.
2 × 2 × 2 × 2 = 16
Signif**a que o número 6045 tem 16 divisores.
O método funciona mesmo?! || vamos determinar o número de divisores do número 6 sem aquele método.
6 pode serdividido por 1, que é o divisor universal, por ele mesmo, e também pode ser definido como a multiplicação de 2 por 3, o que nos permite concluir que é divisível por esses dois fatores. 1, 2, 3 e 6: são 4 divisores!
« Agora vamos usar pra ver se chegamos ao mesmo número de divisores »
Decompor ||
6 | 2
3 | 3
1 |
Forma fatorada.
6 = 2 × 3
O número 2 e 3 têm expoente 1 ( não aparece )Somando mais 1 nos expoente.
2² × 3²
Multiplicando os expoente ||
2 × 2 = 4
Então o número 6 tem 4 divisores... Viu Isso nos mostra que o método não tem erro! Contudo, para quem ainda está desconfiado, aí vai mais um exemplo!
Quantos divisores tem 20
Decompor ||
20 | 2
10 | 2
5 | 5
1 |
Forma fatorada
20 = 2 × 2 × 5
Dois repetido em duas vezes podemos escreve 2²
20 = 2² × 5
O dois tem expoente 2 o cinco tem expoente 1( não aparece ). Somando 1 aos expoentes
2³ × 5²
Multiplicar os expoentes ||
3 × 2 = 6
Neste o número vinte tem 6 divisores...

..
Quantos divisores tem o número:
a) 8
b) 90
c) 9
Tenha uma base sólida para dominar o complexo

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